Theorem lmle 23319

Description: If the distance from each member of a converging sequence to a given point is less than or equal to a given amount, so is the convergence value. (Contributed by NM, 23-Dec-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmle.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmle.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmle.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmle.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmle.7	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmle.8	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑋)
lmle.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
lmle.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lmle	⊢ (𝜑 → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑄,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem lmle

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmle.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		lmle.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		lmle.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	mopntopon 22465	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6		lmle.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		lmrel 21256	. . . . 5 ⊢ Rel (⇝𝑡‘𝐽)
8		lmle.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
9		releldm 5513	. . . . 5 ⊢ ((Rel (⇝𝑡‘𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
10	7, 8, 9	sylancr 698	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
11	1, 5, 6, 10	lmff 21327	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)
12		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑗)
13	5	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14		simprl 811	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
15	14, 1	syl6eleq 2849	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16		eluzelz 11909	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
18	8	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
19		fvres 6369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
20	19	adantl 473	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
21		simprr 813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)
22	21	ffvelrnda 6523	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑘) ∈ 𝑋)
23	20, 22	eqeltrrd 2840	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
24	1	uztrn2 11917	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
25	14, 24	sylan 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
26		lmle.10	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
27	26	adantlr 753	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
28	25, 27	syldan 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
29		oveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → (𝑄𝐷𝑥) = (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)))
30	29	breq1d 4814	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → ((𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅))
31	30	elrab 3504	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅))
32	23, 28, 31	sylanbrc 701	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
33		lmle.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑋)
34		lmle.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
35		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅}
36	3, 35	blcld 22531	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
37	2, 33, 34, 36	syl3anc 1477	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
38	37	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
39	12, 13, 17, 18, 32, 38	lmcld 21329	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
40	11, 39	rexlimddv 3173	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
41		oveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (𝑄𝐷𝑥) = (𝑄𝐷𝑃))
42	41	breq1d 4814	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
43	42	elrab 3504	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
44	43	simprbi 483	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
45	40, 44	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {crab 3054   class class class wbr 4804  dom cdm 5266   ↾ cres 5268  Rel wrel 5271  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℝ^*cxr 10285   ≤ cle 10287  ℤcz 11589  ℤ_≥cuz 11899  ∞Metcxmt 19953  MetOpencmopn 19958  TopOnctopon 20937  Clsdccld 21042  ⇝_𝑡clm 21252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-topgen 16326  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-top 20921  df-topon 20938  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-lm 21255

This theorem is referenced by:  nglmle  23320  minvecolem4  28066