MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmimid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmimid 25906
Description: If we have a right angle, then the mirror point is the point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmicl.1 (𝜑𝐴𝑃)
lmimid.s 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝐵)
lmimid.r (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
lmimid.a (𝜑𝐴𝐷)
lmimid.b (𝜑𝐵𝐷)
lmimid.c (𝜑𝐶𝑃)
lmimid.d (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
lmimid (𝜑 → (𝑀𝐶) = (𝑆𝐶))

Proof of Theorem lmimid
StepHypRef Expression
1 lmimid.s . . . . . . 7 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝐵)
21a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝐵))
32fveq1d 6355 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶))
4 ismid.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
5 ismid.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
6 ismid.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
7 ismid.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
8 ismid.1 . . . . . 6 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
9 lmimid.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑃)
10 lmif.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
11 eqid 2760 . . . . . . 7 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
12 lmif.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
13 lmimid.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐷)
144, 10, 6, 7, 12, 13tglnpt 25664 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑃)
154, 5, 6, 10, 11, 7, 14, 1, 9mircl 25776 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐶) ∈ 𝑃)
164, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 11, 14ismidb 25890 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶) ↔ (𝐶(midG‘𝐺)(𝑆𝐶)) = 𝐵))
173, 16mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝐶(midG‘𝐺)(𝑆𝐶)) = 𝐵)
1817, 13eqeltrd 2839 . . 3 (𝜑 → (𝐶(midG‘𝐺)(𝑆𝐶)) ∈ 𝐷)
19 df-ne 2933 . . . . . 6 (𝐶 ≠ (𝑆𝐶) ↔ ¬ 𝐶 = (𝑆𝐶))
207adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2112adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
229adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐶𝑃)
2315adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → (𝑆𝐶) ∈ 𝑃)
24 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐶 ≠ (𝑆𝐶))
254, 6, 10, 20, 22, 23, 24tgelrnln 25745 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → (𝐶𝐿(𝑆𝐶)) ∈ ran 𝐿)
2613adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐵𝐷)
2714adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐵𝑃)
284, 5, 6, 7, 8, 9, 15midbtwn 25891 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶(midG‘𝐺)(𝑆𝐶)) ∈ (𝐶𝐼(𝑆𝐶)))
2917, 28eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼(𝑆𝐶)))
3029adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼(𝑆𝐶)))
314, 6, 10, 20, 22, 23, 27, 24, 30btwnlng1 25734 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐿(𝑆𝐶)))
3226, 31elind 3941 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷 ∩ (𝐶𝐿(𝑆𝐶))))
33 lmimid.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐷)
3433adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐴𝐷)
354, 6, 10, 20, 22, 23, 24tglinerflx1 25748 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿(𝑆𝐶)))
36 lmimid.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐵)
3736adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐴𝐵)
384, 5, 6, 10, 11, 7, 14, 1, 9mirinv 25781 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑆𝐶) = 𝐶𝐵 = 𝐶))
39 eqcom 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐵)
4038, 39syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆𝐶) = 𝐶𝐶 = 𝐵))
4140biimpar 503 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → (𝑆𝐶) = 𝐶)
4241eqcomd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → 𝐶 = (𝑆𝐶))
4342ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 = 𝐵𝐶 = (𝑆𝐶)))
4443necon3d 2953 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ≠ (𝑆𝐶) → 𝐶𝐵))
4544imp 444 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐶𝐵)
46 lmimid.r . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
4746adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
484, 5, 6, 10, 20, 21, 25, 32, 34, 35, 37, 45, 47ragperp 25832 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶)))
4948ex 449 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ≠ (𝑆𝐶) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶))))
5019, 49syl5bir 233 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝐶 = (𝑆𝐶) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶))))
5150orrd 392 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 = (𝑆𝐶) ∨ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶))))
5251orcomd 402 . . 3 (𝜑 → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶)) ∨ 𝐶 = (𝑆𝐶)))
53 lmif.m . . . 4 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
544, 5, 6, 7, 8, 53, 10, 12, 9, 15islmib 25899 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝐶) = (𝑀𝐶) ↔ ((𝐶(midG‘𝐺)(𝑆𝐶)) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶)) ∨ 𝐶 = (𝑆𝐶)))))
5518, 52, 54mpbir2and 995 . 2 (𝜑 → (𝑆𝐶) = (𝑀𝐶))
5655eqcomd 2766 1 (𝜑 → (𝑀𝐶) = (𝑆𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6814  2c2 11282  ⟨“cs3 13807  Basecbs 16079  distcds 16172  TarskiGcstrkg 25549  DimTarskiGcstrkgld 25553  Itvcitv 25555  LineGclng 25556  pInvGcmir 25767  ∟Gcrag 25808  ⟂Gcperpg 25810  midGcmid 25884  lInvGclmi 25885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-concat 13507  df-s1 13508  df-s2 13813  df-s3 13814  df-trkgc 25567  df-trkgb 25568  df-trkgcb 25569  df-trkgld 25571  df-trkg 25572  df-cgrg 25626  df-leg 25698  df-mir 25768  df-rag 25809  df-perpg 25811  df-mid 25886  df-lmi 25887
This theorem is referenced by:  hypcgrlem1  25911
  Copyright terms: Public domain W3C validator