Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmieu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmieu 25721
 Description: Uniqueness of the line mirror point. Theorem 10.2 of [Schwabhauser] p. 88. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
lmieu.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmieu.1 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmieu.a (𝜑𝐴𝑃)
Assertion
Ref Expression
lmieu (𝜑 → ∃!𝑏𝑃 ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑏   𝑃,𝑏   𝜑,𝑏   𝐴,𝑏   𝐷,𝑏   𝐿,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑏)   (𝑏)

Proof of Theorem lmieu
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmieu.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
21adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴𝐷) → 𝐴𝑃)
3 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → ¬ 𝐴 = 𝑏)
4 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = (𝐴(midG‘𝐺)𝑏))
5 ismid.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = (Base‘𝐺)
6 ismid.d . . . . . . . . . . . . . . . 16 = (dist‘𝐺)
7 ismid.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8 ismid.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
98ad4antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10 ismid.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
1110ad4antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝐺DimTarskiG≥2)
122ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝐴𝑃)
13 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝑏𝑃)
14 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
155, 6, 7, 9, 11, 12, 13midcl 25714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑃)
165, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15ismidb 25715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → (𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝑏))‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = (𝐴(midG‘𝐺)𝑏)))
174, 16mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝑏))‘𝐴))
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝑏))‘𝐴))
19 lmieu.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐿 = (LineG‘𝐺)
209adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21 lmieu.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
2221ad4antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2412adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐴𝑃)
2513adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝑏𝑃)
263neqned 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝐴𝑏)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐴𝑏)
285, 7, 19, 20, 24, 25, 27tgelrnln 25570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → (𝐴𝐿𝑏) ∈ ran 𝐿)
29 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏))
30 simp-4r 824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝐴𝐷)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐴𝐷)
325, 7, 19, 20, 24, 25, 27tglinerflx1 25573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝑏))
3331, 32elind 3831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐴 ∈ (𝐷 ∩ (𝐴𝐿𝑏)))
34 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷)
355, 6, 7, 9, 11, 12, 13midbtwn 25716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ (𝐴𝐼𝑏))
365, 7, 19, 9, 12, 13, 15, 26, 35btwnlng1 25559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ (𝐴𝐿𝑏))
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ (𝐴𝐿𝑏))
3834, 37elind 3831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ (𝐷 ∩ (𝐴𝐿𝑏)))
395, 7, 19, 20, 23, 28, 29, 33, 38tglineineq 25583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝑏))
4039fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → ((pInvG‘𝐺)‘𝐴) = ((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝑏)))
4140fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐴) = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝑏))‘𝐴))
42 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((pInvG‘𝐺)‘𝐴) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐴)
435, 6, 7, 19, 14, 20, 24, 42mircinv 25608 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
4418, 41, 433eqtr2rd 2692 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐴 = 𝑏)
453, 44mtand 692 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → ¬ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏))
468ad5antr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4721ad5antr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
48 nne 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏) ↔ 𝐷 = (𝐴𝐿𝑏))
4945, 48sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑏))
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑏))
5150, 47eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)) → (𝐴𝐿𝑏) ∈ ran 𝐿)
52 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏))
535, 6, 7, 19, 46, 47, 51, 52perpneq 25654 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)) → 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏))
5445, 53mtand 692 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → ¬ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏))
5554ex 449 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) → (¬ 𝐴 = 𝑏 → ¬ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)))
5655con4d 114 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) → 𝐴 = 𝑏))
57 idd 24 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) → (𝐴 = 𝑏𝐴 = 𝑏))
5856, 57jaod 394 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) → ((𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏) → 𝐴 = 𝑏))
5958impr 648 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝐴 = 𝑏)
6059eqcomd 2657 . . . . 5 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝑏 = 𝐴)
61 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → 𝑏 = 𝐴)
6261oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐴))
635, 6, 7, 8, 10, 1, 1midid 25718 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐴) = 𝐴)
6463ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐴) = 𝐴)
6562, 64eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = 𝐴)
66 simpllr 815 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → 𝐴𝐷)
6765, 66eqeltrd 2730 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷)
6861eqcomd 2657 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → 𝐴 = 𝑏)
6968olcd 407 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))
7067, 69jca 553 . . . . 5 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
7160, 70impbida 895 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) → (((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = 𝐴))
7271ralrimiva 2995 . . 3 ((𝜑𝐴𝐷) → ∀𝑏𝑃 (((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = 𝐴))
73 reu6i 3430 . . 3 ((𝐴𝑃 ∧ ∀𝑏𝑃 (((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = 𝐴)) → ∃!𝑏𝑃 ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
742, 72, 73syl2anc 694 . 2 ((𝜑𝐴𝐷) → ∃!𝑏𝑃 ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
758adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7675ad2antrr 762 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7721adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
7877ad2antrr 762 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
79 simplr 807 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥𝐷)
805, 19, 7, 76, 78, 79tglnpt 25489 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥𝑃)
81 eqid 2651 . . . . 5 ((pInvG‘𝐺)‘𝑥) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑥)
821adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐴𝑃)
8382ad2antrr 762 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴𝑃)
845, 6, 7, 19, 14, 76, 80, 81, 83mircl 25601 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴) ∈ 𝑃)
85 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) → (𝐴𝐿𝑥) = (𝐴𝐿(𝐴(midG‘𝐺)𝑏)))
8685breq1d 4695 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) → ((𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷 ↔ (𝐴𝐿(𝐴(midG‘𝐺)𝑏))(⟂G‘𝐺)𝐷))
87 simprl 809 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷)
88 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ¬ 𝐴𝐷)
895, 6, 7, 19, 75, 77, 82, 88foot 25659 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ∃!𝑥𝐷 (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
90 reurmo 3191 . . . . . . . . . . 11 (∃!𝑥𝐷 (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷 → ∃*𝑥𝐷 (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ∃*𝑥𝐷 (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
9291ad4antr 769 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → ∃*𝑥𝐷 (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
9379ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝑥𝐷)
94 simpllr 815 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
9576ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9683ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝐴𝑃)
97 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝑏𝑃)
9810ad5antr 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝐺DimTarskiG≥2)
995, 6, 7, 95, 98, 96, 97midcl 25714 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑃)
1005, 6, 7, 95, 98, 96, 97midbtwn 25716 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ (𝐴𝐼𝑏))
10188ad4antr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → ¬ 𝐴𝐷)
102 nelne2 2920 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ≠ 𝐴)
10387, 101, 102syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ≠ 𝐴)
1045, 6, 7, 95, 96, 99, 97, 100, 103tgbtwnne 25430 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝐴𝑏)
1055, 7, 19, 95, 96, 97, 99, 104, 100btwnlng1 25559 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ (𝐴𝐿𝑏))
1065, 7, 19, 95, 96, 97, 104, 99, 103, 105tglineelsb2 25572 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴𝐿𝑏) = (𝐴𝐿(𝐴(midG‘𝐺)𝑏)))
10778ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
1085, 7, 19, 95, 96, 97, 104tgelrnln 25570 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴𝐿𝑏) ∈ ran 𝐿)
109104neneqd 2828 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → ¬ 𝐴 = 𝑏)
110 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))
111110orcomd 402 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴 = 𝑏𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)))
112111ord 391 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (¬ 𝐴 = 𝑏𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)))
113109, 112mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏))
1145, 6, 7, 19, 95, 107, 108, 113perpcom 25653 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴𝐿𝑏)(⟂G‘𝐺)𝐷)
115106, 114eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴𝐿(𝐴(midG‘𝐺)𝑏))(⟂G‘𝐺)𝐷)
11686, 87, 92, 93, 94, 115rmoi2 3565 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝑥 = (𝐴(midG‘𝐺)𝑏))
117116eqcomd 2657 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = 𝑥)
11880ad2antrr 762 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝑥𝑃)
1195, 6, 7, 95, 98, 96, 97, 14, 118ismidb 25715 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = 𝑥))
120117, 119mpbird 247 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴))
121 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴))
12276ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
12310ad5antr 773 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
12483ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → 𝐴𝑃)
125 simplr 807 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → 𝑏𝑃)
12680ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → 𝑥𝑃)
1275, 6, 7, 122, 123, 124, 125, 14, 126ismidb 25715 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → (𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = 𝑥))
128121, 127mpbid 222 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = 𝑥)
12979ad2antrr 762 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → 𝑥𝐷)
130128, 129eqeltrd 2730 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷)
131122adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐺 ∈ TarskiG)
132 simp-4r 824 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
13319, 131, 132perpln1 25650 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → (𝐴𝐿𝑥) ∈ ran 𝐿)
13478ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
1355, 6, 7, 19, 131, 133, 134, 132perpcom 25653 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥))
136124adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴𝑃)
137126adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑥𝑃)
1385, 7, 19, 131, 136, 137, 133tglnne 25568 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴𝑥)
139 simpllr 815 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏𝑃)
140 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴𝑏)
141140necomd 2878 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏𝐴)
1425, 6, 7, 19, 14, 131, 137, 81, 136mirbtwn 25598 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑥 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)𝐼𝐴))
143 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴))
144143oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → (𝑏𝐼𝐴) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)𝐼𝐴))
145142, 144eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑥 ∈ (𝑏𝐼𝐴))
1465, 7, 19, 131, 139, 136, 137, 141, 145btwnlng1 25559 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑥 ∈ (𝑏𝐿𝐴))
1475, 7, 19, 131, 136, 137, 139, 138, 146, 141lnrot1 25563 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 ∈ (𝐴𝐿𝑥))
1485, 7, 19, 131, 136, 137, 138, 139, 141, 147tglineelsb2 25572 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → (𝐴𝐿𝑥) = (𝐴𝐿𝑏))
149135, 148breqtrd 4711 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏))
150149ex 449 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → (𝐴𝑏𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)))
151150necon1bd 2841 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → (¬ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) → 𝐴 = 𝑏))
152151orrd 392 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))
153130, 152jca 553 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
154120, 153impbida 895 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) → (((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)))
155154ralrimiva 2995 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → ∀𝑏𝑃 (((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)))
156 reu6i 3430 . . . 4 (((((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴) ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑏𝑃 (((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴))) → ∃!𝑏𝑃 ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
15784, 155, 156syl2anc 694 . . 3 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → ∃!𝑏𝑃 ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
1585, 6, 7, 19, 75, 77, 82, 88footex 25658 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ∃𝑥𝐷 (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
159157, 158r19.29a 3107 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ∃!𝑏𝑃 ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
16074, 159pm2.61dan 849 1 (𝜑 → ∃!𝑏𝑃 ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃!wreu 2943  ∃*wrmo 2944   class class class wbr 4685  ran crn 5144  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  2c2 11108  Basecbs 15904  distcds 15997  TarskiGcstrkg 25374  DimTarskiG≥cstrkgld 25378  Itvcitv 25380  LineGclng 25381  pInvGcmir 25592  ⟂Gcperpg 25635  midGcmid 25709 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-trkgc 25392  df-trkgb 25393  df-trkgcb 25394  df-trkgld 25396  df-trkg 25397  df-cgrg 25451  df-leg 25523  df-mir 25593  df-rag 25634  df-perpg 25636  df-mid 25711 This theorem is referenced by:  lmif  25722  islmib  25724
 Copyright terms: Public domain W3C validator