MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmieu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmieu 25721
Description: Uniqueness of the line mirror point. Theorem 10.2 of [Schwabhauser] p. 88. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
lmieu.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmieu.1 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmieu.a (𝜑𝐴𝑃)
Assertion
Ref Expression
lmieu (𝜑 → ∃!𝑏𝑃 ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑏   𝑃,𝑏   𝜑,𝑏   𝐴,𝑏   𝐷,𝑏   𝐿,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑏)   (𝑏)

Proof of Theorem lmieu
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmieu.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
21adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴𝐷) → 𝐴𝑃)
3 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → ¬ 𝐴 = 𝑏)
4 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = (𝐴(midG‘𝐺)𝑏))
5 ismid.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = (Base‘𝐺)
6 ismid.d . . . . . . . . . . . . . . . 16 = (dist‘𝐺)
7 ismid.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8 ismid.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
98ad4antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10 ismid.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
1110ad4antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝐺DimTarskiG≥2)
122ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝐴𝑃)
13 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝑏𝑃)
14 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
155, 6, 7, 9, 11, 12, 13midcl 25714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑃)
165, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15ismidb 25715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → (𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝑏))‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = (𝐴(midG‘𝐺)𝑏)))
174, 16mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝑏))‘𝐴))
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝑏))‘𝐴))
19 lmieu.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐿 = (LineG‘𝐺)
209adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21 lmieu.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
2221ad4antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2412adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐴𝑃)
2513adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝑏𝑃)
263neqned 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝐴𝑏)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐴𝑏)
285, 7, 19, 20, 24, 25, 27tgelrnln 25570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → (𝐴𝐿𝑏) ∈ ran 𝐿)
29 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏))
30 simp-4r 824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝐴𝐷)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐴𝐷)
325, 7, 19, 20, 24, 25, 27tglinerflx1 25573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝑏))
3331, 32elind 3831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐴 ∈ (𝐷 ∩ (𝐴𝐿𝑏)))
34 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷)
355, 6, 7, 9, 11, 12, 13midbtwn 25716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ (𝐴𝐼𝑏))
365, 7, 19, 9, 12, 13, 15, 26, 35btwnlng1 25559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ (𝐴𝐿𝑏))
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ (𝐴𝐿𝑏))
3834, 37elind 3831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ (𝐷 ∩ (𝐴𝐿𝑏)))
395, 7, 19, 20, 23, 28, 29, 33, 38tglineineq 25583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝑏))
4039fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → ((pInvG‘𝐺)‘𝐴) = ((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝑏)))
4140fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐴) = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝑏))‘𝐴))
42 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((pInvG‘𝐺)‘𝐴) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐴)
435, 6, 7, 19, 14, 20, 24, 42mircinv 25608 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
4418, 41, 433eqtr2rd 2692 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐴 = 𝑏)
453, 44mtand 692 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → ¬ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏))
468ad5antr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4721ad5antr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
48 nne 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏) ↔ 𝐷 = (𝐴𝐿𝑏))
4945, 48sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑏))
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑏))
5150, 47eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)) → (𝐴𝐿𝑏) ∈ ran 𝐿)
52 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏))
535, 6, 7, 19, 46, 47, 51, 52perpneq 25654 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)) → 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏))
5445, 53mtand 692 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → ¬ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏))
5554ex 449 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) → (¬ 𝐴 = 𝑏 → ¬ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)))
5655con4d 114 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) → 𝐴 = 𝑏))
57 idd 24 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) → (𝐴 = 𝑏𝐴 = 𝑏))
5856, 57jaod 394 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) → ((𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏) → 𝐴 = 𝑏))
5958impr 648 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝐴 = 𝑏)
6059eqcomd 2657 . . . . 5 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝑏 = 𝐴)
61 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → 𝑏 = 𝐴)
6261oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐴))
635, 6, 7, 8, 10, 1, 1midid 25718 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐴) = 𝐴)
6463ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐴) = 𝐴)
6562, 64eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = 𝐴)
66 simpllr 815 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → 𝐴𝐷)
6765, 66eqeltrd 2730 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷)
6861eqcomd 2657 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → 𝐴 = 𝑏)
6968olcd 407 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))
7067, 69jca 553 . . . . 5 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
7160, 70impbida 895 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) → (((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = 𝐴))
7271ralrimiva 2995 . . 3 ((𝜑𝐴𝐷) → ∀𝑏𝑃 (((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = 𝐴))
73 reu6i 3430 . . 3 ((𝐴𝑃 ∧ ∀𝑏𝑃 (((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = 𝐴)) → ∃!𝑏𝑃 ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
742, 72, 73syl2anc 694 . 2 ((𝜑𝐴𝐷) → ∃!𝑏𝑃 ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
758adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7675ad2antrr 762 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7721adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
7877ad2antrr 762 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
79 simplr 807 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥𝐷)
805, 19, 7, 76, 78, 79tglnpt 25489 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥𝑃)
81 eqid 2651 . . . . 5 ((pInvG‘𝐺)‘𝑥) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑥)
821adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐴𝑃)
8382ad2antrr 762 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴𝑃)
845, 6, 7, 19, 14, 76, 80, 81, 83mircl 25601 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴) ∈ 𝑃)
85 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) → (𝐴𝐿𝑥) = (𝐴𝐿(𝐴(midG‘𝐺)𝑏)))
8685breq1d 4695 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) → ((𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷 ↔ (𝐴𝐿(𝐴(midG‘𝐺)𝑏))(⟂G‘𝐺)𝐷))
87 simprl 809 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷)
88 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ¬ 𝐴𝐷)
895, 6, 7, 19, 75, 77, 82, 88foot 25659 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ∃!𝑥𝐷 (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
90 reurmo 3191 . . . . . . . . . . 11 (∃!𝑥𝐷 (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷 → ∃*𝑥𝐷 (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ∃*𝑥𝐷 (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
9291ad4antr 769 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → ∃*𝑥𝐷 (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
9379ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝑥𝐷)
94 simpllr 815 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
9576ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9683ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝐴𝑃)
97 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝑏𝑃)
9810ad5antr 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝐺DimTarskiG≥2)
995, 6, 7, 95, 98, 96, 97midcl 25714 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑃)
1005, 6, 7, 95, 98, 96, 97midbtwn 25716 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ (𝐴𝐼𝑏))
10188ad4antr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → ¬ 𝐴𝐷)
102 nelne2 2920 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ≠ 𝐴)
10387, 101, 102syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ≠ 𝐴)
1045, 6, 7, 95, 96, 99, 97, 100, 103tgbtwnne 25430 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝐴𝑏)
1055, 7, 19, 95, 96, 97, 99, 104, 100btwnlng1 25559 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ (𝐴𝐿𝑏))
1065, 7, 19, 95, 96, 97, 104, 99, 103, 105tglineelsb2 25572 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴𝐿𝑏) = (𝐴𝐿(𝐴(midG‘𝐺)𝑏)))
10778ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
1085, 7, 19, 95, 96, 97, 104tgelrnln 25570 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴𝐿𝑏) ∈ ran 𝐿)
109104neneqd 2828 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → ¬ 𝐴 = 𝑏)
110 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))
111110orcomd 402 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴 = 𝑏𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)))
112111ord 391 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (¬ 𝐴 = 𝑏𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)))
113109, 112mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏))
1145, 6, 7, 19, 95, 107, 108, 113perpcom 25653 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴𝐿𝑏)(⟂G‘𝐺)𝐷)
115106, 114eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴𝐿(𝐴(midG‘𝐺)𝑏))(⟂G‘𝐺)𝐷)
11686, 87, 92, 93, 94, 115rmoi2 3565 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝑥 = (𝐴(midG‘𝐺)𝑏))
117116eqcomd 2657 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = 𝑥)
11880ad2antrr 762 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝑥𝑃)
1195, 6, 7, 95, 98, 96, 97, 14, 118ismidb 25715 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = 𝑥))
120117, 119mpbird 247 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴))
121 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴))
12276ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
12310ad5antr 773 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
12483ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → 𝐴𝑃)
125 simplr 807 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → 𝑏𝑃)
12680ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → 𝑥𝑃)
1275, 6, 7, 122, 123, 124, 125, 14, 126ismidb 25715 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → (𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = 𝑥))
128121, 127mpbid 222 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = 𝑥)
12979ad2antrr 762 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → 𝑥𝐷)
130128, 129eqeltrd 2730 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷)
131122adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐺 ∈ TarskiG)
132 simp-4r 824 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
13319, 131, 132perpln1 25650 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → (𝐴𝐿𝑥) ∈ ran 𝐿)
13478ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
1355, 6, 7, 19, 131, 133, 134, 132perpcom 25653 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥))
136124adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴𝑃)
137126adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑥𝑃)
1385, 7, 19, 131, 136, 137, 133tglnne 25568 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴𝑥)
139 simpllr 815 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏𝑃)
140 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴𝑏)
141140necomd 2878 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏𝐴)
1425, 6, 7, 19, 14, 131, 137, 81, 136mirbtwn 25598 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑥 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)𝐼𝐴))
143 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴))
144143oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → (𝑏𝐼𝐴) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)𝐼𝐴))
145142, 144eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑥 ∈ (𝑏𝐼𝐴))
1465, 7, 19, 131, 139, 136, 137, 141, 145btwnlng1 25559 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑥 ∈ (𝑏𝐿𝐴))
1475, 7, 19, 131, 136, 137, 139, 138, 146, 141lnrot1 25563 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 ∈ (𝐴𝐿𝑥))
1485, 7, 19, 131, 136, 137, 138, 139, 141, 147tglineelsb2 25572 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → (𝐴𝐿𝑥) = (𝐴𝐿𝑏))
149135, 148breqtrd 4711 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏))
150149ex 449 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → (𝐴𝑏𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)))
151150necon1bd 2841 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → (¬ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) → 𝐴 = 𝑏))
152151orrd 392 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))
153130, 152jca 553 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
154120, 153impbida 895 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) → (((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)))
155154ralrimiva 2995 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → ∀𝑏𝑃 (((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)))
156 reu6i 3430 . . . 4 (((((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴) ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑏𝑃 (((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴))) → ∃!𝑏𝑃 ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
15784, 155, 156syl2anc 694 . . 3 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → ∃!𝑏𝑃 ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
1585, 6, 7, 19, 75, 77, 82, 88footex 25658 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ∃𝑥𝐷 (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
159157, 158r19.29a 3107 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ∃!𝑏𝑃 ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
16074, 159pm2.61dan 849 1 (𝜑 → ∃!𝑏𝑃 ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  ∃!wreu 2943  ∃*wrmo 2944   class class class wbr 4685  ran crn 5144  cfv 5926  (class class class)co 6690  2c2 11108  Basecbs 15904  distcds 15997  TarskiGcstrkg 25374  DimTarskiGcstrkgld 25378  Itvcitv 25380  LineGclng 25381  pInvGcmir 25592  ⟂Gcperpg 25635  midGcmid 25709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-trkgc 25392  df-trkgb 25393  df-trkgcb 25394  df-trkgld 25396  df-trkg 25397  df-cgrg 25451  df-leg 25523  df-mir 25593  df-rag 25634  df-perpg 25636  df-mid 25711
This theorem is referenced by:  lmif  25722  islmib  25724
  Copyright terms: Public domain W3C validator