Theorem lmicrcl 19119

Description: Isomorphism implies the right side is a module. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmicrcl	⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 → 𝑆 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmicrcl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brlmic 19116	. . 3 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 3964	. . 3 ⊢ ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
3	1, 2	bitri 264	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
4		lmimlmhm 19112	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆))
5		lmhmlmod2 19080	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) → 𝑆 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑆 ∈ LMod)
7	6	exlimiv 1898	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑆 ∈ LMod)
8	3, 7	sylbi 207	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 → 𝑆 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  LModclmod 18911   LMHom clmhm 19067   LMIso clmim 19068   ≃_𝑚 clmic 19069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-1o 7605  df-lmhm 19070  df-lmim 19071  df-lmic 19072

This theorem is referenced by: (None)