Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmlsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmhmlsp 19262
 Description: Homomorphisms preserve spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmlsp.v 𝑉 = (Base‘𝑆)
lmhmlsp.k 𝐾 = (LSpan‘𝑆)
lmhmlsp.l 𝐿 = (LSpan‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
lmhmlsp ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹 “ (𝐾𝑈)) = (𝐿‘(𝐹𝑈)))

Proof of Theorem lmhmlsp
StepHypRef Expression
1 lmhmlsp.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑆)
2 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
31, 2lmhmf 19247 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
43adantr 466 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
54ffund 6188 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → Fun 𝐹)
6 lmhmlmod1 19246 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
76adantr 466 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑆 ∈ LMod)
8 lmhmlmod2 19245 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
98adantr 466 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑇 ∈ LMod)
10 imassrn 5617 . . . . . . 7 (𝐹𝑈) ⊆ ran 𝐹
114frnd 6191 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝑇))
1210, 11syl5ss 3763 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹𝑈) ⊆ (Base‘𝑇))
13 eqid 2771 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑇) = (LSubSp‘𝑇)
14 lmhmlsp.l . . . . . . 7 𝐿 = (LSpan‘𝑇)
152, 13, 14lspcl 19189 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑈) ⊆ (Base‘𝑇)) → (𝐿‘(𝐹𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
169, 12, 15syl2anc 573 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐿‘(𝐹𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
17 eqid 2771 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑆) = (LSubSp‘𝑆)
1817, 13lmhmpreima 19261 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐿‘(𝐹𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))) ∈ (LSubSp‘𝑆))
1916, 18syldan 579 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))) ∈ (LSubSp‘𝑆))
20 incom 3956 . . . . . . 7 (dom 𝐹𝑈) = (𝑈 ∩ dom 𝐹)
21 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈𝑉)
224fdmd 6193 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → dom 𝐹 = 𝑉)
2321, 22sseqtr4d 3791 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ dom 𝐹)
24 df-ss 3737 . . . . . . . 8 (𝑈 ⊆ dom 𝐹 ↔ (𝑈 ∩ dom 𝐹) = 𝑈)
2523, 24sylib 208 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝑈 ∩ dom 𝐹) = 𝑈)
2620, 25syl5req 2818 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 = (dom 𝐹𝑈))
27 dminss 5687 . . . . . 6 (dom 𝐹𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐹𝑈))
2826, 27syl6eqss 3804 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝐹 “ (𝐹𝑈)))
292, 14lspssid 19198 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑈) ⊆ (Base‘𝑇)) → (𝐹𝑈) ⊆ (𝐿‘(𝐹𝑈)))
309, 12, 29syl2anc 573 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹𝑈) ⊆ (𝐿‘(𝐹𝑈)))
31 imass2 5641 . . . . . 6 ((𝐹𝑈) ⊆ (𝐿‘(𝐹𝑈)) → (𝐹 “ (𝐹𝑈)) ⊆ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))))
3230, 31syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹 “ (𝐹𝑈)) ⊆ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))))
3328, 32sstrd 3762 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))))
34 lmhmlsp.k . . . . 5 𝐾 = (LSpan‘𝑆)
3517, 34lspssp 19201 . . . 4 ((𝑆 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))) ∈ (LSubSp‘𝑆) ∧ 𝑈 ⊆ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈)))) → (𝐾𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))))
367, 19, 33, 35syl3anc 1476 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐾𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))))
37 funimass2 6111 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐾𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈)))) → (𝐹 “ (𝐾𝑈)) ⊆ (𝐿‘(𝐹𝑈)))
385, 36, 37syl2anc 573 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹 “ (𝐾𝑈)) ⊆ (𝐿‘(𝐹𝑈)))
391, 17, 34lspcl 19189 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝐾𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑆))
407, 21, 39syl2anc 573 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐾𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑆))
4117, 13lmhmima 19260 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐾𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝐹 “ (𝐾𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
4240, 41syldan 579 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹 “ (𝐾𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
431, 34lspssid 19198 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝐾𝑈))
447, 21, 43syl2anc 573 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝐾𝑈))
45 imass2 5641 . . . 4 (𝑈 ⊆ (𝐾𝑈) → (𝐹𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐾𝑈)))
4644, 45syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐾𝑈)))
4713, 14lspssp 19201 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ (𝐾𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇) ∧ (𝐹𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐾𝑈))) → (𝐿‘(𝐹𝑈)) ⊆ (𝐹 “ (𝐾𝑈)))
489, 42, 46, 47syl3anc 1476 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐿‘(𝐹𝑈)) ⊆ (𝐹 “ (𝐾𝑈)))
4938, 48eqssd 3769 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹 “ (𝐾𝑈)) = (𝐿‘(𝐹𝑈)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3722   ⊆ wss 3723  ◡ccnv 5249  dom cdm 5250  ran crn 5251   “ cima 5253  Fun wfun 6024  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  LSpanclspn 19184   LMHom clmhm 19232 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lmhm 19235 This theorem is referenced by:  frlmup3  20356  lindfmm  20383  lmimlbs  20392  lmhmfgima  38180  lmhmfgsplit  38182
 Copyright terms: Public domain W3C validator