MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmlmod2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmhmlmod2 19244
Description: A homomorphism of left modules has a left module as codomain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmhmlmod2 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod2
StepHypRef Expression
1 eqid 2770 . . 3 (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2 eqid 2770 . . 3 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
31, 2lmhmlem 19241 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4 simplr 744 . 2 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))) → 𝑇 ∈ LMod)
53, 4syl 17 1 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  cfv 6031  (class class class)co 6792  Scalarcsca 16151   GrpHom cghm 17864  LModclmod 19072   LMHom clmhm 19231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-lmhm 19234
This theorem is referenced by:  lmhmco  19255  lmhmplusg  19256  lmhmvsca  19257  lmhmf1o  19258  lmhmima  19259  lmhmpreima  19260  lmhmlsp  19261  lmhmkerlss  19263  reslmhm  19264  islmim  19274  lmicrcl  19283  lindfmm  20382  lindsmm  20383  lmhmclm  23105  lmhmfgima  38173  lnmepi  38174  lmhmfgsplit  38175  lmhmlnmsplit  38176
  Copyright terms: Public domain W3C validator