MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmlmod1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmhmlmod1 19206
Description: A homomorphism of left modules has a left module as domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmhmlmod1 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod1
StepHypRef Expression
1 eqid 2748 . . 3 (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2 eqid 2748 . . 3 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
31, 2lmhmlem 19202 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
43simplld 808 1 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  cfv 6037  (class class class)co 6801  Scalarcsca 16117   GrpHom cghm 17829  LModclmod 19036   LMHom clmhm 19192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fv 6045  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-lmhm 19195
This theorem is referenced by:  islmhm2  19211  lmhmco  19216  lmhmplusg  19217  lmhmvsca  19218  lmhmf1o  19219  lmhmima  19220  lmhmpreima  19221  lmhmlsp  19222  lmhmrnlss  19223  reslmhm  19225  reslmhm2  19226  reslmhm2b  19227  lmhmeql  19228  lspextmo  19229  islmim  19235  lmiclcl  19243  lindfmm  20339  lindsmm  20340  lmhmclm  23058  kercvrlsm  38124  lmhmfgima  38125  lmhmfgsplit  38127  lmhmlnmsplit  38128
  Copyright terms: Public domain W3C validator