MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmflf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmflf 21856
Description: The topological limit relation on functions can be written in terms of the filter limit along the filter generated by the upper integer sets. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmflf.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
lmflf.2 𝐿 = (𝑍filGen(ℤ𝑍))
Assertion
Ref Expression
lmflf ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃𝑃 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹)))

Proof of Theorem lmflf
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzf 11728 . . . . . . . 8 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2 ffn 6083 . . . . . . . 8 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ Fn ℤ)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 Fn ℤ
4 lmflf.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 uzssz 11745 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
64, 5eqsstri 3668 . . . . . . 7 𝑍 ⊆ ℤ
7 imaeq2 5497 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (ℤ𝑗) → (𝐹𝑦) = (𝐹 “ (ℤ𝑗)))
87sseq1d 3665 . . . . . . . 8 (𝑦 = (ℤ𝑗) → ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐹 “ (ℤ𝑗)) ⊆ 𝑥))
98rexima 6537 . . . . . . 7 ((ℤ Fn ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ) → (∃𝑦 ∈ (ℤ𝑍)(𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍 (𝐹 “ (ℤ𝑗)) ⊆ 𝑥))
103, 6, 9mp2an 708 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ (ℤ𝑍)(𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍 (𝐹 “ (ℤ𝑗)) ⊆ 𝑥)
11 simpl3 1086 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → 𝐹:𝑍𝑋)
12 ffun 6086 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑍𝑋 → Fun 𝐹)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → Fun 𝐹)
14 uzss 11746 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑗) ⊆ (ℤ𝑀))
1514, 4eleq2s 2748 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑍 → (ℤ𝑗) ⊆ (ℤ𝑀))
1615adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → (ℤ𝑗) ⊆ (ℤ𝑀))
17 fdm 6089 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑍𝑋 → dom 𝐹 = 𝑍)
1811, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → dom 𝐹 = 𝑍)
1918, 4syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → dom 𝐹 = (ℤ𝑀))
2016, 19sseqtr4d 3675 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)
21 funimass4 6286 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ (ℤ𝑗)) ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥))
2213, 20, 21syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → ((𝐹 “ (ℤ𝑗)) ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥))
2322rexbidva 3078 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (∃𝑗𝑍 (𝐹 “ (ℤ𝑗)) ⊆ 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥))
2410, 23syl5rbb 273 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ (ℤ𝑍)(𝐹𝑦) ⊆ 𝑥))
2524imbi2d 329 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → ((𝑃𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥) ↔ (𝑃𝑥 → ∃𝑦 ∈ (ℤ𝑍)(𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)))
2625ralbidv 3015 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → ∃𝑦 ∈ (ℤ𝑍)(𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)))
2726anbi2d 740 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → ((𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥)) ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → ∃𝑦 ∈ (ℤ𝑍)(𝐹𝑦) ⊆ 𝑥))))
28 simp1 1081 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
29 simp2 1082 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → 𝑀 ∈ ℤ)
30 simp3 1083 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → 𝐹:𝑍𝑋)
31 eqidd 2652 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
3228, 4, 29, 30, 31lmbrf 21112 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥))))
334uzfbas 21749 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
34 lmflf.2 . . . 4 𝐿 = (𝑍filGen(ℤ𝑍))
3534flffbas 21846 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (ℤ𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝑃 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → ∃𝑦 ∈ (ℤ𝑍)(𝐹𝑦) ⊆ 𝑥))))
3633, 35syl3an2 1400 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝑃 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → ∃𝑦 ∈ (ℤ𝑍)(𝐹𝑦) ⊆ 𝑥))))
3727, 32, 363bitr4d 300 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃𝑃 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  𝒫 cpw 4191   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  cima 5146  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cz 11415  cuz 11725  fBascfbas 19782  filGencfg 19783  TopOnctopon 20763  𝑡clm 21078   fLimf cflf 21786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-z 11416  df-uz 11726  df-rest 16130  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-top 20747  df-topon 20764  df-ntr 20872  df-nei 20950  df-lm 21081  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791
This theorem is referenced by:  cmetcaulem  23132
  Copyright terms: Public domain W3C validator