Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmdvglim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmdvglim 30331
 Description: If a monotonic real number sequence 𝐹 diverges, it converges in the extended real numbers and its limit is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmdvglim.j 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
lmdvglim.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
lmdvglim.2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
lmdvglim.3 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
lmdvglim (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐽   𝜑,𝑘

Proof of Theorem lmdvglim
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmdvglim.1 . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
2 lmdvglim.2 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
3 lmdvglim.3 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
41, 2, 3lmdvg 30330 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
5 lmdvglim.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
6 icossicc 12474 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
7 fss 6218 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
81, 6, 7sylancl 697 . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
9 eqidd 2762 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
105, 8, 9lmxrge0 30329 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘)))
114, 10mpbird 247 1 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  ∀wral 3051  ∃wrex 3052   ⊆ wss 3716   class class class wbr 4805  dom cdm 5267  ⟶wf 6046  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  ℝcr 10148  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152  +∞cpnf 10284   < clt 10287   ≤ cle 10288  ℕcn 11233  ℤ≥cuz 11900  [,)cico 12391  [,]cicc 12392   ⇝ cli 14435   ↾s cress 16081  TopOpenctopn 16305  ℝ*𝑠cxrs 16383  ⇝𝑡clm 21253 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-pm 8029  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fi 8485  df-sup 8516  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-rp 12047  df-ioo 12393  df-ioc 12394  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12541  df-seq 13017  df-exp 13076  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-clim 14439  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-rest 16306  df-topn 16307  df-topgen 16327  df-ordt 16384  df-xrs 16385  df-ps 17422  df-tsr 17423  df-top 20922  df-topon 20939  df-bases 20973  df-lm 21256 This theorem is referenced by:  esumcvg  30479
 Copyright terms: Public domain W3C validator