MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcnp 21156
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcnp.3 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
lmcnp.4 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
Assertion
Ref Expression
lmcnp (𝜑 → (𝐺𝐹)(⇝𝑡𝐾)(𝐺𝑃))

Proof of Theorem lmcnp
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcnp.4 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
2 eqid 2651 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
3 eqid 2651 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
42, 3cnpf 21099 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐺: 𝐽 𝐾)
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺: 𝐽 𝐾)
6 lmcnp.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
7 cnptop1 21094 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)
81, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ Top)
92toptopon 20770 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
108, 9sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
11 nnuz 11761 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
12 1zzd 11446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
1310, 11, 12lmbr2 21111 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ) ∧ 𝑃 𝐽 ∧ ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)))))
146, 13mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ) ∧ 𝑃 𝐽 ∧ ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣))))
1514simp1d 1093 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ))
16 uniexg 6997 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ V)
178, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 𝐽 ∈ V)
18 cnex 10055 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
19 elpm2g 7916 . . . . . . . 8 (( 𝐽 ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹 𝐽 ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ)))
2017, 18, 19sylancl 695 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹 𝐽 ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ)))
2115, 20mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹 𝐽 ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ))
2221simpld 474 . . . . 5 (𝜑𝐹:dom 𝐹 𝐽)
23 fco 6096 . . . . 5 ((𝐺: 𝐽 𝐾𝐹:dom 𝐹 𝐽) → (𝐺𝐹):dom 𝐹 𝐾)
245, 22, 23syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐹):dom 𝐹 𝐾)
25 fdm 6089 . . . . . 6 ((𝐺𝐹):dom 𝐹 𝐾 → dom (𝐺𝐹) = dom 𝐹)
2624, 25syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝐺𝐹) = dom 𝐹)
2726feq2d 6069 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺𝐹):dom (𝐺𝐹)⟶ 𝐾 ↔ (𝐺𝐹):dom 𝐹 𝐾))
2824, 27mpbird 247 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝐹):dom (𝐺𝐹)⟶ 𝐾)
2921simprd 478 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
3026, 29eqsstrd 3672 . . 3 (𝜑 → dom (𝐺𝐹) ⊆ ℂ)
31 cnptop2 21095 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐾 ∈ Top)
321, 31syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Top)
33 uniexg 6997 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
3432, 33syl 17 . . . 4 (𝜑 𝐾 ∈ V)
35 elpm2g 7916 . . . 4 (( 𝐾 ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → ((𝐺𝐹) ∈ ( 𝐾pm ℂ) ↔ ((𝐺𝐹):dom (𝐺𝐹)⟶ 𝐾 ∧ dom (𝐺𝐹) ⊆ ℂ)))
3634, 18, 35sylancl 695 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝐹) ∈ ( 𝐾pm ℂ) ↔ ((𝐺𝐹):dom (𝐺𝐹)⟶ 𝐾 ∧ dom (𝐺𝐹) ⊆ ℂ)))
3728, 30, 36mpbir2and 977 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐹) ∈ ( 𝐾pm ℂ))
3814simp2d 1094 . . 3 (𝜑𝑃 𝐽)
395, 38ffvelrnd 6400 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑃) ∈ 𝐾)
4014simp3d 1095 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)))
4140adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)))
42 cnpimaex 21108 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
43423expb 1285 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
441, 43sylan 487 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
45 r19.29 3101 . . . . . . 7 ((∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 ((𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)))
46 pm3.45 897 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) → ((𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)))
4746imp 444 . . . . . . . 8 (((𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
4847reximi 3040 . . . . . . 7 (∃𝑣𝐽 ((𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
4945, 48syl 17 . . . . . 6 ((∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
505ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝐺: 𝐽 𝐾)
51 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺: 𝐽 𝐾𝐺 Fn 𝐽)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝐺 Fn 𝐽)
53 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑣𝐽)
54 elssuni 4499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣𝐽𝑣 𝐽)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑣 𝐽)
56 fnfvima 6536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 Fn 𝐽𝑣 𝐽 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) → (𝐺‘(𝐹𝑘)) ∈ (𝐺𝑣))
57563expia 1286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 Fn 𝐽𝑣 𝐽) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑣 → (𝐺‘(𝐹𝑘)) ∈ (𝐺𝑣)))
5852, 55, 57syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑣 → (𝐺‘(𝐹𝑘)) ∈ (𝐺𝑣)))
5922ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → 𝐹:dom 𝐹 𝐽)
60 fvco3 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:dom 𝐹 𝐽𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
6159, 60sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
6261eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ (𝐺𝑣) ↔ (𝐺‘(𝐹𝑘)) ∈ (𝐺𝑣)))
6358, 62sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑣 → ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ (𝐺𝑣)))
64 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)
6564sseld 3635 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ (𝐺𝑣) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))
6663, 65syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑣 → ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))
67 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
6826ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → dom (𝐺𝐹) = dom 𝐹)
6967, 68eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹))
7066, 69jctild 565 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑣 → (𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
7170expimpd 628 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) → (𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
7271ralimdv 2992 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
7372reximdv 3045 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
7473expr 642 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))))
7574com23 86 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))))
7675impd 446 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → ((∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
7776rexlimdva 3060 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑣𝐽 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
7849, 77syl5 34 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → ((∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
7941, 44, 78mp2and 715 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))
8079expr 642 . . 3 ((𝜑𝑢𝐾) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
8180ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑢𝐾 ((𝐺𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
823toptopon 20770 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
8332, 82sylib 208 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
8483, 11, 12lmbr2 21111 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝐹)(⇝𝑡𝐾)(𝐺𝑃) ↔ ((𝐺𝐹) ∈ ( 𝐾pm ℂ) ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐾 ∧ ∀𝑢𝐾 ((𝐺𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
8537, 39, 81, 84mpbir3and 1264 1 (𝜑 → (𝐺𝐹)(⇝𝑡𝐾)(𝐺𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607   cuni 4468   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  cima 5146  ccom 5147   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  pm cpm 7900  cc 9972  1c1 9975  cn 11058  cuz 11725  Topctop 20746  TopOnctopon 20763   CnP ccnp 21077  𝑡clm 21078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-z 11416  df-uz 11726  df-top 20747  df-topon 20764  df-cnp 21080  df-lm 21081
This theorem is referenced by:  lmcn  21157  1stccnp  21313
  Copyright terms: Public domain W3C validator