Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcld 21330
 Description: Any convergent sequence of points in a closed subset of a topological space converges to a point in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmff.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
lmff.3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmff.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
lmcls.5 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
lmcls.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
lmcld.8 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
Assertion
Ref Expression
lmcld (𝜑𝑃𝑆)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑃,𝑘   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍

Proof of Theorem lmcld
StepHypRef Expression
1 lmff.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 lmff.3 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 lmff.4 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 lmcls.5 . . 3 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
5 lmcls.7 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
6 lmcld.8 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
7 eqid 2761 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
87cldss 21056 . . . . 5 (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 𝐽)
96, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 𝐽)
10 toponuni 20942 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
112, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋 = 𝐽)
129, 11sseqtr4d 3784 . . 3 (𝜑𝑆𝑋)
131, 2, 3, 4, 5, 12lmcls 21329 . 2 (𝜑𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
14 cldcls 21069 . . 3 (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
156, 14syl 17 . 2 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
1613, 15eleqtrd 2842 1 (𝜑𝑃𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ⊆ wss 3716  ∪ cuni 4589   class class class wbr 4805  ‘cfv 6050  ℤcz 11590  ℤ≥cuz 11900  TopOnctopon 20938  Clsdccld 21043  clsccl 21045  ⇝𝑡clm 21253 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-er 7914  df-pm 8029  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-neg 10482  df-z 11591  df-uz 11901  df-top 20922  df-topon 20939  df-cld 21046  df-ntr 21047  df-cls 21048  df-lm 21256 This theorem is referenced by:  1stckgen  21580  lmle  23320
 Copyright terms: Public domain W3C validator