Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmatfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmatfval 30210
Description: Entries of a literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmatfval.m 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1 (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
lmatfval.i (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑁))
lmatfval.j (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑁))
Assertion
Ref Expression
lmatfval (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem lmatfval
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmatfval.m . . 3 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2 lmatfval.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
3 lmatval 30209 . . . 4 (𝑊 ∈ Word Word 𝑉 → (litMat‘𝑊) = (𝑖 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → (litMat‘𝑊) = (𝑖 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
51, 4syl5eq 2806 . 2 (𝜑𝑀 = (𝑖 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
6 simprl 811 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → 𝑖 = 𝐼)
76oveq1d 6829 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → (𝑖 − 1) = (𝐼 − 1))
87fveq2d 6357 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → (𝑊‘(𝑖 − 1)) = (𝑊‘(𝐼 − 1)))
9 simprr 813 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → 𝑗 = 𝐽)
109oveq1d 6829 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → (𝑗 − 1) = (𝐽 − 1))
118, 10fveq12d 6359 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
12 lmatfval.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑁))
13 lmatfval.1 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
1413oveq2d 6830 . . 3 (𝜑 → (1...(♯‘𝑊)) = (1...𝑁))
1512, 14eleqtrrd 2842 . 2 (𝜑𝐼 ∈ (1...(♯‘𝑊)))
16 lmatfval.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑁))
17 1m1e0 11301 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
18 lmatfval.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
19 nnuz 11936 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
2018, 19syl6eleq 2849 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
21 eluzfz1 12561 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑁))
23 fz1fzo0m1 12730 . . . . . . 7 (1 ∈ (1...𝑁) → (1 − 1) ∈ (0..^𝑁))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 1) ∈ (0..^𝑁))
2517, 24syl5eqelr 2844 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
26 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
2726eleq1d 2824 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
2826fveq2d 6357 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
2928fveq2d 6357 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = 0) → (♯‘(𝑊𝑖)) = (♯‘(𝑊‘0)))
3029eqeq1d 2762 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = 0) → ((♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
3127, 30imbi12d 333 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁) ↔ (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)))
32 lmatfval.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
3332ex 449 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁))
3425, 31, 33vtocld 3397 . . . . 5 (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
3525, 34mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)
3635oveq2d 6830 . . 3 (𝜑 → (1...(♯‘(𝑊‘0))) = (1...𝑁))
3716, 36eleqtrrd 2842 . 2 (𝜑𝐽 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))))
38 fz1fzo0m1 12730 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (1...𝑁) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁))
3912, 38syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁))
4013oveq2d 6830 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
4139, 40eleqtrrd 2842 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
42 wrdsymbcl 13524 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word Word 𝑉 ∧ (𝐼 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉)
432, 41, 42syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉)
44 fz1fzo0m1 12730 . . . . 5 (𝐽 ∈ (1...𝑁) → (𝐽 − 1) ∈ (0..^𝑁))
4516, 44syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ (0..^𝑁))
46 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = (𝐼 − 1)) → 𝑖 = (𝐼 − 1))
4746eleq1d 2824 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = (𝐼 − 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
4846fveq2d 6357 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 = (𝐼 − 1)) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘(𝐼 − 1)))
4948fveq2d 6357 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = (𝐼 − 1)) → (♯‘(𝑊𝑖)) = (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))))
5049eqeq1d 2762 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = (𝐼 − 1)) → ((♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁))
5147, 50imbi12d 333 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = (𝐼 − 1)) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁) ↔ ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁)))
5239, 51, 33vtocld 3397 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁))
5339, 52mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁)
5453oveq2d 6830 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1)))) = (0..^𝑁))
5545, 54eleqtrrd 2842 . . 3 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1)))))
56 wrdsymbcl 13524 . . 3 (((𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐽 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) ∈ 𝑉)
5743, 55, 56syl2anc 696 . 2 (𝜑 → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) ∈ 𝑉)
585, 11, 15, 37, 57ovmpt2d 6954 1 (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  (class class class)co 6814  cmpt2 6816  0cc0 10148  1c1 10149  cmin 10478  cn 11232  cuz 11899  ...cfz 12539  ..^cfzo 12679  chash 13331  Word cword 13497  litMatclmat 30207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-lmat 30208
This theorem is referenced by:  lmatfvlem  30211  lmat22e11  30214
  Copyright terms: Public domain W3C validator