Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmatcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmatcl 30162
Description: Closure of the literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmatfval.m 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1 (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
lmatcl.b 𝑉 = (Base‘𝑅)
lmatcl.1 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
lmatcl.2 𝑃 = (Base‘𝑂)
lmatcl.r (𝜑𝑅𝑋)
Assertion
Ref Expression
lmatcl (𝜑𝑀𝑃)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝑅(𝑖)   𝑂(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem lmatcl
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmatfval.m . . . 4 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2 lmatfval.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
3 lmatval 30159 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word Word 𝑉 → (litMat‘𝑊) = (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → (litMat‘𝑊) = (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
51, 4syl5eq 2794 . . 3 (𝜑𝑀 = (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
6 lmatfval.1 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
76oveq2d 6817 . . . 4 (𝜑 → (1...(♯‘𝑊)) = (1...𝑁))
8 lmatfval.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 lbfzo0 12673 . . . . . . 7 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
108, 9sylibr 224 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
11 0nn0 11470 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
13 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
1413eleq1d 2812 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
1513fveq2d 6344 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
1615fveq2d 6344 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = 0) → (♯‘(𝑊𝑖)) = (♯‘(𝑊‘0)))
1716eqeq1d 2750 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = 0) → ((♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
1814, 17imbi12d 333 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁) ↔ (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)))
19 lmatfval.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
2019ex 449 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁))
2112, 18, 20vtocld 3385 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
2210, 21mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)
2322oveq2d 6817 . . . 4 (𝜑 → (1...(♯‘(𝑊‘0))) = (1...𝑁))
24 eqidd 2749 . . . 4 (𝜑 → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)))
257, 23, 24mpt2eq123dv 6870 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))) = (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
265, 25eqtrd 2782 . 2 (𝜑𝑀 = (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
27 lmatcl.1 . . 3 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
28 lmatcl.b . . 3 𝑉 = (Base‘𝑅)
29 lmatcl.2 . . 3 𝑃 = (Base‘𝑂)
30 fzfid 12937 . . 3 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
31 lmatcl.r . . 3 (𝜑𝑅𝑋)
3223ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
33 simp2 1129 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
34 fz1fzo0m1 12681 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁))
3533, 34syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁))
3663ad2ant1 1125 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
3736oveq2d 6817 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
3835, 37eleqtrrd 2830 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
39 wrdsymbcl 13475 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word Word 𝑉 ∧ (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉)
4032, 38, 39syl2anc 696 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉)
41 simp3 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
42 fz1fzo0m1 12681 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑁))
4341, 42syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑁))
44 ovexd 6831 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘 − 1) ∈ V)
45 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → 𝑖 = (𝑘 − 1))
46 eqidd 2749 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → (0..^𝑁) = (0..^𝑁))
4745, 46eleq12d 2821 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
4845fveq2d 6344 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘(𝑘 − 1)))
4948fveq2d 6344 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → (♯‘(𝑊𝑖)) = (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))))
5049eqeq1d 2750 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → ((♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁))
5147, 50imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁) ↔ ((𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)))
5244, 51, 20vtocld 3385 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁))
5352imp 444 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
5434, 53sylan2 492 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
55543adant3 1124 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
5655oveq2d 6817 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (0..^(♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1)))) = (0..^𝑁))
5743, 56eleqtrrd 2830 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1)))))
58 wrdsymbcl 13475 . . . 4 (((𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝑘 − 1))))) → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) ∈ 𝑉)
5940, 57, 58syl2anc 696 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) ∈ 𝑉)
6027, 28, 29, 30, 31, 59matbas2d 20402 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))) ∈ 𝑃)
6126, 60eqeltrd 2827 1 (𝜑𝑀𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  Vcvv 3328  cfv 6037  (class class class)co 6801  cmpt2 6803  0cc0 10099  1c1 10100  cmin 10429  cn 11183  0cn0 11455  ...cfz 12490  ..^cfzo 12630  chash 13282  Word cword 13448  Basecbs 16030   Mat cmat 20386  litMatclmat 30157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-ot 4318  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-sup 8501  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-hash 13283  df-word 13456  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-hom 16139  df-cco 16140  df-0g 16275  df-prds 16281  df-pws 16283  df-sra 19345  df-rgmod 19346  df-dsmm 20249  df-frlm 20264  df-mat 20387  df-lmat 30158
This theorem is referenced by:  lmat22det  30168
  Copyright terms: Public domain W3C validator