Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnnleat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnnleat 35302
Description: An atom cannot majorize a lattice line. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnnleat.l = (le‘𝐾)
llnnleat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnnleat.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnnleat ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → ¬ 𝑋 𝑃)

Proof of Theorem llnnleat
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → 𝑋𝑁)
2 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 eqid 2760 . . . . . 6 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
4 llnnleat.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 llnnleat.n . . . . . 6 𝑁 = (LLines‘𝐾)
62, 3, 4, 5islln 35295 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → (𝑋𝑁 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
763ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → (𝑋𝑁 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
81, 7mpbid 222 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑞𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
98simprd 482 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → ∃𝑞𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
10 simp11 1246 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
11 hlatl 35150 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
13 simp2 1132 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞𝐴)
14 simp13 1248 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑃𝐴)
15 eqid 2760 . . . . . 6 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
1615, 4atnlt 35103 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞𝐴𝑃𝐴) → ¬ 𝑞(lt‘𝐾)𝑃)
1712, 13, 14, 16syl3anc 1477 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑞(lt‘𝐾)𝑃)
182, 4atbase 35079 . . . . . . 7 (𝑞𝐴𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
19183ad2ant2 1129 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
20 simp12 1247 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑋𝑁)
212, 5llnbase 35298 . . . . . . 7 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
23 simp3 1133 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
242, 15, 3cvrlt 35060 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑋)
2510, 19, 22, 23, 24syl31anc 1480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑋)
26 hlpos 35155 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
2710, 26syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
282, 4atbase 35079 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2914, 28syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
30 llnnleat.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
312, 30, 15pltletr 17172 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑞(lt‘𝐾)𝑋𝑋 𝑃) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
3227, 19, 22, 29, 31syl13anc 1479 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ((𝑞(lt‘𝐾)𝑋𝑋 𝑃) → 𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
3325, 32mpand 713 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → (𝑋 𝑃𝑞(lt‘𝐾)𝑃))
3417, 33mtod 189 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑋 𝑃)
3534rexlimdv3a 3171 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → (∃𝑞𝐴 𝑞( ⋖ ‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑋 𝑃))
369, 35mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → ¬ 𝑋 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051   class class class wbr 4804  cfv 6049  Basecbs 16059  lecple 16150  Posetcpo 17141  ltcplt 17142  ccvr 35052  Atomscatm 35053  AtLatcal 35054  HLchlt 35140  LLinesclln 35280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-glb 17176  df-p0 17240  df-lat 17247  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141  df-llines 35287
This theorem is referenced by:  llnneat  35303  llnn0  35305  lplnnle2at  35330
  Copyright terms: Public domain W3C validator