Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnexatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnexatN 35329
Description: Given an atom on a line, there is another atom whose join equals the line. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
llnexat.l = (le‘𝐾)
llnexat.j = (join‘𝐾)
llnexat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnexat.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnexatN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞𝑋 = (𝑃 𝑞)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   ,𝑞   𝑁,𝑞   𝑃,𝑞   𝑋,𝑞
Allowed substitution hint:   (𝑞)

Proof of Theorem llnexatN
StepHypRef Expression
1 simp1 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp3 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → 𝑃𝐴)
3 simp2 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → 𝑋𝑁)
41, 2, 33jca 1123 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁))
5 llnexat.l . . . 4 = (le‘𝐾)
6 eqid 2761 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
7 llnexat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 llnexat.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
95, 6, 7, 8atcvrlln2 35327 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
104, 9sylan 489 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
11 simpl1 1228 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
12 simpl3 1232 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐴)
13 eqid 2761 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 7atbase 35098 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
1512, 14syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
16 simpl2 1230 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋𝑁)
1713, 8llnbase 35317 . . . . 5 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
1816, 17syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
19 llnexat.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
2013, 5, 19, 6, 7cvrval3 35221 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴𝑞 𝑃 ∧ (𝑃 𝑞) = 𝑋)))
2111, 15, 18, 20syl3anc 1477 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴𝑞 𝑃 ∧ (𝑃 𝑞) = 𝑋)))
22 simpll1 1255 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑞𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
23 hlatl 35169 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑞𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
25 simpr 479 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑞𝐴) → 𝑞𝐴)
26 simpll3 1259 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑞𝐴) → 𝑃𝐴)
275, 7atncmp 35121 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞𝐴𝑃𝐴) → (¬ 𝑞 𝑃𝑞𝑃))
2824, 25, 26, 27syl3anc 1477 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑞𝐴) → (¬ 𝑞 𝑃𝑞𝑃))
2928anbi1d 743 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑞𝐴) → ((¬ 𝑞 𝑃 ∧ (𝑃 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑞𝑃 ∧ (𝑃 𝑞) = 𝑋)))
30 necom 2986 . . . . . 6 (𝑞𝑃𝑃𝑞)
31 eqcom 2768 . . . . . 6 ((𝑃 𝑞) = 𝑋𝑋 = (𝑃 𝑞))
3230, 31anbi12i 735 . . . . 5 ((𝑞𝑃 ∧ (𝑃 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑃𝑞𝑋 = (𝑃 𝑞)))
3329, 32syl6bb 276 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑞𝐴) → ((¬ 𝑞 𝑃 ∧ (𝑃 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑃𝑞𝑋 = (𝑃 𝑞))))
3433rexbidva 3188 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → (∃𝑞𝐴𝑞 𝑃 ∧ (𝑃 𝑞) = 𝑋) ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞𝑋 = (𝑃 𝑞))))
3521, 34bitrd 268 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞𝑋 = (𝑃 𝑞))))
3610, 35mpbid 222 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞𝑋 = (𝑃 𝑞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  wrex 3052   class class class wbr 4805  cfv 6050  (class class class)co 6815  Basecbs 16080  lecple 16171  joincjn 17166  ccvr 35071  Atomscatm 35072  AtLatcal 35073  HLchlt 35159  LLinesclln 35299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-preset 17150  df-poset 17168  df-plt 17180  df-lub 17196  df-glb 17197  df-join 17198  df-meet 17199  df-p0 17261  df-lat 17268  df-clat 17330  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306
This theorem is referenced by:  lplnexllnN  35372
  Copyright terms: Public domain W3C validator