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Theorem llncvrlpln 35347
Description: An element covering a lattice line is a lattice plane and vice-versa. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llncvrlpln.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
llncvrlpln.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
llncvrlpln.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
llncvrlpln.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llncvrlpln (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋𝑁𝑌𝑃))

Proof of Theorem llncvrlpln
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1255 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpll3 1259 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝑌𝐵)
3 simpr 479 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝑋𝑁)
4 simplr 809 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝑋𝐶𝑌)
5 llncvrlpln.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 llncvrlpln.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7 llncvrlpln.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
8 llncvrlpln.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
95, 6, 7, 8lplni 35321 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵𝑋𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌𝑃)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1480 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝑌𝑃)
11 simpll1 1255 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
12 simpll2 1257 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑋𝐵)
13 eqid 2760 . . . . . . 7 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
1413, 8lplnneat 35334 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
1511, 14sylancom 704 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
16 simplr 809 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑋𝐶𝑌)
17 breq1 4807 . . . . . . . 8 (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
1816, 17syl5ibcom 235 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
19 simpll3 1259 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑌𝐵)
20 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
215, 20, 6, 13isat2 35077 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
2211, 19, 21syl2anc 696 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
2318, 22sylibrd 249 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)))
2423necon3bd 2946 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)))
2515, 24mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾))
267, 8lplnnelln 35335 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑌𝑁)
2711, 26sylancom 704 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑌𝑁)
285, 6, 13, 7atcvrlln 35309 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ 𝑌𝑁))
2928adantr 472 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ 𝑌𝑁))
3027, 29mtbird 314 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))
31 eqid 2760 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
325, 31, 20, 13, 7llnle 35307 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))) → ∃𝑧𝑁 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
3311, 12, 25, 30, 32syl22anc 1478 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → ∃𝑧𝑁 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
34 simpr3 1238 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
35 simpll1 1255 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
36 hlop 35152 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ OP)
38 simpr2 1236 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝑁)
395, 7llnbase 35298 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑁𝑧𝐵)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝐵)
41 simpll2 1257 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝐵)
42 simpll3 1259 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌𝐵)
43 simpr1 1234 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌𝑃)
445, 31, 6cvrle 35068 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
4544adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
46 hlpos 35155 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
4735, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ Poset)
485, 31postr 17154 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑧𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
4947, 40, 41, 42, 48syl13anc 1479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
5034, 45, 49mp2and 717 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌)
5131, 6, 7, 8llncvrlpln2 35346 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝑁𝑌𝑃) ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧𝐶𝑌)
5235, 38, 43, 50, 51syl31anc 1480 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝐶𝑌)
53 simplr 809 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝐶𝑌)
545, 31, 6cvrcmp2 35074 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑧𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑌𝑋𝐶𝑌)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑧 = 𝑋))
5537, 40, 41, 42, 52, 53, 54syl132anc 1495 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑧 = 𝑋))
5634, 55mpbid 222 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧 = 𝑋)
5756, 38eqeltrrd 2840 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝑁)
58573exp2 1448 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑌𝑃 → (𝑧𝑁 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑁))))
5958imp 444 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑧𝑁 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑁)))
6059rexlimdv 3168 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (∃𝑧𝑁 𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑁))
6133, 60mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑋𝑁)
6210, 61impbida 913 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋𝑁𝑌𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051   class class class wbr 4804  cfv 6049  Basecbs 16059  lecple 16150  Posetcpo 17141  0.cp0 17238  OPcops 34962  ccvr 35052  Atomscatm 35053  HLchlt 35140  LLinesclln 35280  LPlanesclpl 35281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-lat 17247  df-clat 17309  df-oposet 34966  df-ol 34968  df-oml 34969  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141  df-llines 35287  df-lplanes 35288
This theorem is referenced by:  2lplnmN  35348  2llnmj  35349  lplncvrlvol  35405  2lplnm2N  35410  2lplnmj  35411
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