Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrssv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrssv 34904
Description: The kernel of a linear functional is a set of vectors. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrssv.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrssv.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrssv.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrssv.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lkrssv.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lkrssv (𝜑 → (𝐾𝐺) ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem lkrssv
StepHypRef Expression
1 lkrssv.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lkrssv.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
3 lkrssv.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
4 lkrssv.k . . . 4 𝐾 = (LKer‘𝑊)
5 eqid 2760 . . . 4 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
63, 4, 5lkrlss 34903 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
71, 2, 6syl2anc 696 . 2 (𝜑 → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8 lkrssv.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
98, 5lssss 19159 . 2 ((𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) → (𝐾𝐺) ⊆ 𝑉)
107, 9syl 17 1 (𝜑 → (𝐾𝐺) ⊆ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  cfv 6049  Basecbs 16079  LModclmod 19085  LSubSpclss 19154  LFnlclfn 34865  LKerclk 34893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lfl 34866  df-lkr 34894
This theorem is referenced by:  lkrscss  34906  lkrlsp3  34912  lshpkr  34925  lfl1dim  34929  lfl1dim2N  34930  lkrpssN  34971  dochlkr  37194  dochkrsat  37264  dochkrsat2  37265  dochsnkrlem1  37278  dochsnkr  37281  dochfln0  37286  dochkr1  37287  dochkr1OLDN  37288  lcfl4N  37304  lcfl5  37305  lcfl6lem  37307  lcfl6  37309  lcfl9a  37314  lclkrlem2s  37334  lclkrlem2v  37337  lclkrslem1  37346  lclkrslem2  37347  lcfrvalsnN  37350  lcfrlem4  37354  lcfrlem5  37355  lcfrlem6  37356  lcfrlem16  37367  lcfrlem26  37377  lcfrlem36  37387  lcfr  37394  mapdsn  37450  mapdrvallem2  37454  mapd0  37474  hdmaplkr  37725
  Copyright terms: Public domain W3C validator