Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrshp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrshp3 34896
Description: The kernels of nonzero functionals are hyperplanes. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrshp3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrshp3.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrshp3.o 0 = (0g𝐷)
lkrshp3.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lkrshp3.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrshp3.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrshp3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkrshp3.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lkrshp3 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ∈ 𝐻𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem lkrshp3
StepHypRef Expression
1 lkrshp3.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lkrshp3.h . . . 4 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3 lkrshp3.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lveclmod 19308 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
65adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ LMod)
7 simpr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾𝐺) ∈ 𝐻)
81, 2, 6, 7lshpne 34772 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾𝐺) ≠ 𝑉)
9 lkrshp3.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
10 lkrshp3.d . . . . . . 7 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11 lkrshp3.o . . . . . . 7 0 = (0g𝐷)
12 lkrshp3.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
13 lkrshp3.k . . . . . . 7 𝐾 = (LKer‘𝑊)
1410, 11, 1, 12, 13lkr0f 34884 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
155, 9, 14syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
1615adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
1716necon3bid 2976 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → ((𝐾𝐺) ≠ 𝑉𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))
188, 17mpbid 222 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
193adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
209adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺𝐹)
21 simpr 479 . . 3 ((𝜑𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
221, 10, 11, 2, 12, 13lkrshp 34895 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) ∈ 𝐻)
2319, 20, 21, 22syl3anc 1477 . 2 ((𝜑𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) ∈ 𝐻)
2418, 23impbida 913 1 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ∈ 𝐻𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  {csn 4321   × cxp 5264  cfv 6049  Basecbs 16059  Scalarcsca 16146  0gc0g 16302  LModclmod 19065  LVecclvec 19304  LSHypclsh 34765  LFnlclfn 34847  LKerclk 34875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-subg 17792  df-cntz 17950  df-lsm 18251  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-drng 18951  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19174  df-lvec 19305  df-lshyp 34767  df-lfl 34848  df-lkr 34876
This theorem is referenced by:  lshpset2N  34909  lduallkr3  34952
  Copyright terms: Public domain W3C validator