Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrshp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrshp 34914
Description: The kernel of a nonzero functional is a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrshp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrshp.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrshp.z 0 = (0g𝐷)
lkrshp.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lkrshp.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrshp.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkrshp ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem lkrshp
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 19319 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
213ad2ant1 1127 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝑊 ∈ LMod)
3 simp2 1131 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺𝐹)
4 lkrshp.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 lkrshp.k . . . 4 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6 eqid 2771 . . . 4 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
74, 5, 6lkrlss 34904 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
82, 3, 7syl2anc 573 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9 simp3 1132 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
10 lkrshp.d . . . . . 6 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11 lkrshp.z . . . . . 6 0 = (0g𝐷)
12 lkrshp.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
1310, 11, 12, 4, 5lkr0f 34903 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
142, 3, 13syl2anc 573 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
1514necon3bid 2987 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾𝐺) ≠ 𝑉𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))
169, 15mpbird 247 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) ≠ 𝑉)
17 eqid 2771 . . . 4 (1r𝐷) = (1r𝐷)
1810, 11, 17, 12, 4lfl1 34879 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑣𝑉 (𝐺𝑣) = (1r𝐷))
19 simp11 1245 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → 𝑊 ∈ LVec)
20 simp2 1131 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → 𝑣𝑉)
21 simp12 1246 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → 𝐺𝐹)
22 simp3 1132 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → (𝐺𝑣) = (1r𝐷))
2310lvecdrng 19318 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
2411, 17drngunz 18972 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ DivRing → (1r𝐷) ≠ 0 )
2519, 23, 243syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → (1r𝐷) ≠ 0 )
2622, 25eqnetrd 3010 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → (𝐺𝑣) ≠ 0 )
27 simpl11 1314 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑊 ∈ LVec)
28 simpl12 1316 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝐺𝐹)
29 simpr 471 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑣 ∈ (𝐾𝐺))
3010, 11, 4, 5lkrf0 34902 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑣) = 0 )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑣) = 0 )
3231ex 397 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) → (𝐺𝑣) = 0 ))
3332necon3ad 2956 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → ((𝐺𝑣) ≠ 0 → ¬ 𝑣 ∈ (𝐾𝐺)))
3426, 33mpd 15 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐾𝐺))
35 eqid 2771 . . . . . . 7 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3612, 35, 4, 5lkrlsp3 34913 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑣𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
3719, 20, 21, 34, 36syl121anc 1481 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
38373expia 1114 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐺𝑣) = (1r𝐷) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
3938reximdva 3165 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (∃𝑣𝑉 (𝐺𝑣) = (1r𝐷) → ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
4018, 39mpd 15 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
41 lkrshp.h . . . 4 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
4212, 35, 6, 41islshp 34788 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → ((𝐾𝐺) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝐺) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
43423ad2ant1 1127 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾𝐺) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝐺) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
448, 16, 40, 43mpbir3and 1427 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  cun 3721  {csn 4316   × cxp 5247  cfv 6031  Basecbs 16064  Scalarcsca 16152  0gc0g 16308  1rcur 18709  DivRingcdr 18957  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  LSpanclspn 19184  LVecclvec 19315  LSHypclsh 34784  LFnlclfn 34866  LKerclk 34894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-lshyp 34786  df-lfl 34867  df-lkr 34895
This theorem is referenced by:  lkrshp3  34915  lkrshpor  34916  lshpset2N  34928  lfl1dim  34930  lfl1dim2N  34931  hdmaplkr  37723
  Copyright terms: Public domain W3C validator