Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrsc 34899
 Description: The kernel of a nonzero scalar product of a functional equals the kernel of the functional. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrsc.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrsc.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrsc.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lkrsc.t · = (.r𝐷)
lkrsc.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrsc.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrsc.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkrsc.g (𝜑𝐺𝐹)
lkrsc.r (𝜑𝑅𝐾)
lkrsc.o 0 = (0g𝐷)
lkrsc.e (𝜑𝑅0 )
Assertion
Ref Expression
lkrsc (𝜑 → (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿𝐺))

Proof of Theorem lkrsc
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lkrsc.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 fvex 6342 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑊) ∈ V
31, 2eqeltri 2845 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ V)
5 lkrsc.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝐾)
6 lkrsc.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
7 lkrsc.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐹)
8 lkrsc.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
9 lkrsc.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝐷)
10 lkrsc.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
118, 9, 1, 10lflf 34865 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
126, 7, 11syl2anc 565 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:𝑉𝐾)
13 ffn 6185 . . . . . . . 8 (𝐺:𝑉𝐾𝐺 Fn 𝑉)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 Fn 𝑉)
15 eqidd 2771 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝐺𝑣) = (𝐺𝑣))
164, 5, 14, 15ofc2 7067 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = ((𝐺𝑣) · 𝑅))
1716eqeq1d 2772 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝑉) → (((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ↔ ((𝐺𝑣) · 𝑅) = 0 ))
18 lkrsc.o . . . . . 6 0 = (0g𝐷)
19 lkrsc.t . . . . . 6 · = (.r𝐷)
208lvecdrng 19317 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
216, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ DivRing)
2221adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝐷 ∈ DivRing)
236adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
247adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝐺𝐹)
25 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
268, 9, 1, 10lflcl 34866 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑣𝑉) → (𝐺𝑣) ∈ 𝐾)
2723, 24, 25, 26syl3anc 1475 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝐺𝑣) ∈ 𝐾)
285adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑅𝐾)
29 lkrsc.e . . . . . . 7 (𝜑𝑅0 )
3029adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑅0 )
319, 18, 19, 22, 27, 28, 30drngmuleq0 18979 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝑉) → (((𝐺𝑣) · 𝑅) = 0 ↔ (𝐺𝑣) = 0 ))
3217, 31bitrd 268 . . . 4 ((𝜑𝑣𝑉) → (((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ↔ (𝐺𝑣) = 0 ))
3332pm5.32da 560 . . 3 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ∧ ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = 0 )))
34 lveclmod 19318 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
356, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
361, 8, 9, 19, 10, 35, 7, 5lflvscl 34879 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)
37 lkrsc.l . . . . 5 𝐿 = (LKer‘𝑊)
381, 8, 18, 10, 37ellkr 34891 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 )))
396, 36, 38syl2anc 565 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 )))
401, 8, 18, 10, 37ellkr 34891 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐿𝐺) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = 0 )))
416, 7, 40syl2anc 565 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿𝐺) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = 0 )))
4233, 39, 413bitr4d 300 . 2 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ 𝑣 ∈ (𝐿𝐺)))
4342eqrdv 2768 1 (𝜑 → (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942  Vcvv 3349  {csn 4314   × cxp 5247   Fn wfn 6026  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792   ∘𝑓 cof 7041  Basecbs 16063  .rcmulr 16149  Scalarcsca 16151  0gc0g 16307  DivRingcdr 18956  LModclmod 19072  LVecclvec 19314  LFnlclfn 34859  LKerclk 34887 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-tpos 7503  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-drng 18958  df-lmod 19074  df-lvec 19315  df-lfl 34860  df-lkr 34888 This theorem is referenced by:  lkrscss  34900  ldualkrsc  34969
 Copyright terms: Public domain W3C validator