Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrlsp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrlsp3 34913
Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel is the whole vector space. (Contributed by NM, 29-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlsp3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrlsp3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lkrlsp3.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlsp3.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkrlsp3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = 𝑉)

Proof of Theorem lkrlsp3
StepHypRef Expression
1 lveclmod 19319 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
213ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑊 ∈ LMod)
3 simp2r 1242 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝐺𝐹)
4 lkrlsp3.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 lkrlsp3.k . . . . . . . 8 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6 eqid 2771 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
74, 5, 6lkrlss 34904 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
82, 3, 7syl2anc 573 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9 lkrlsp3.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
106, 9lspid 19195 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘(𝐾𝐺)) = (𝐾𝐺))
112, 8, 10syl2anc 573 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘(𝐾𝐺)) = (𝐾𝐺))
1211uneq1d 3917 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → ((𝑁‘(𝐾𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋})) = ((𝐾𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋})))
1312fveq2d 6337 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝑁‘(𝐾𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
14 lkrlsp3.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
1514, 4, 5, 2, 3lkrssv 34905 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐾𝐺) ⊆ 𝑉)
16 simp2l 1241 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑋𝑉)
1716snssd 4476 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
1814, 9lspun 19200 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝐺) ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘(𝐾𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
192, 15, 17, 18syl3anc 1476 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘(𝐾𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
2014, 6, 9lspsncl 19190 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
212, 16, 20syl2anc 573 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
22 eqid 2771 . . . . 5 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
236, 9, 22lsmsp 19299 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝐾𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
242, 8, 21, 23syl3anc 1476 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → ((𝐾𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
2513, 19, 243eqtr4d 2815 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = ((𝐾𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})))
2614, 9, 22, 4, 5lkrlsp2 34912 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → ((𝐾𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
2725, 26eqtrd 2805 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cun 3721  wss 3723  {csn 4317  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  LSSumclsm 18256  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  LSpanclspn 19184  LVecclvec 19315  LFnlclfn 34866  LKerclk 34894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-lfl 34867  df-lkr 34895
This theorem is referenced by:  lkrshp  34914
  Copyright terms: Public domain W3C validator