Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrlsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrlsp 34910
Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel (by ellkr 34897) is the whole vector space. (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlsp.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrlsp.o 0 = (0g𝐷)
lkrlsp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrlsp.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lkrlsp.p = (LSSum‘𝑊)
lkrlsp.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlsp.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkrlsp ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Proof of Theorem lkrlsp
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 19328 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
213ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
3 simp2r 1243 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → 𝐺𝐹)
4 lkrlsp.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 lkrlsp.k . . . . . 6 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6 eqid 2760 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
74, 5, 6lkrlss 34903 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
82, 3, 7syl2anc 696 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9 simp2l 1242 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋𝑉)
10 lkrlsp.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 lkrlsp.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1210, 6, 11lspsncl 19199 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
132, 9, 12syl2anc 696 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
14 lkrlsp.p . . . . 5 = (LSSum‘𝑊)
156, 14lsmcl 19305 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
162, 8, 13, 15syl3anc 1477 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1710, 6lssss 19159 . . 3 (((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
1816, 17syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
19 simpl1 1228 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
2019, 1syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
21 simpr 479 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑢𝑉)
22 lkrlsp.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2322lmodring 19093 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
2420, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝐷 ∈ Ring)
25 simpl2r 1285 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝐺𝐹)
26 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
2722, 26, 10, 4lflcl 34872 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑢𝑉) → (𝐺𝑢) ∈ (Base‘𝐷))
2819, 25, 21, 27syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐺𝑢) ∈ (Base‘𝐷))
2922lvecdrng 19327 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
3019, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝐷 ∈ DivRing)
31 simpl2l 1283 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑋𝑉)
3222, 26, 10, 4lflcl 34872 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
3319, 25, 31, 32syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
34 simpl3 1232 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
35 lkrlsp.o . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐷)
36 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (invr𝐷) = (invr𝐷)
3726, 35, 36drnginvrcl 18986 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → ((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝐷))
3830, 33, 34, 37syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝐷))
39 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (.r𝐷) = (.r𝐷)
4026, 39ringcl 18781 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑢) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))) ∈ (Base‘𝐷))
4124, 28, 38, 40syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))) ∈ (Base‘𝐷))
42 eqid 2760 . . . . . . . 8 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
4310, 22, 42, 26lmodvscl 19102 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑋𝑉) → (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
4420, 41, 31, 43syl3anc 1477 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
45 eqid 2760 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
46 eqid 2760 . . . . . . 7 (-g𝑊) = (-g𝑊)
4710, 45, 46lmodvnpcan 19139 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑢𝑉 ∧ (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))(+g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) = 𝑢)
4820, 21, 44, 47syl3anc 1477 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))(+g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) = 𝑢)
496lsssssubg 19180 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5020, 49syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
518adantr 472 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5250, 51sseldd 3745 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐾𝐺) ∈ (SubGrp‘𝑊))
5313adantr 472 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5450, 53sseldd 3745 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
5510, 46lmodvsubcl 19130 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑢𝑉 ∧ (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑉) → (𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉)
5620, 21, 44, 55syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉)
57 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (-g𝐷) = (-g𝐷)
5822, 57, 10, 46, 4lflsub 34875 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑢𝑉 ∧ (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))) = ((𝐺𝑢)(-g𝐷)(𝐺‘(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))))
5920, 25, 21, 44, 58syl112anc 1481 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐺‘(𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))) = ((𝐺𝑢)(-g𝐷)(𝐺‘(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))))
6022, 26, 39, 10, 42, 4lflmul 34876 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑋𝑉)) → (𝐺‘(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) = (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))(.r𝐷)(𝐺𝑋)))
6120, 25, 41, 31, 60syl112anc 1481 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐺‘(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) = (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))(.r𝐷)(𝐺𝑋)))
6226, 39ringass 18784 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Ring ∧ ((𝐺𝑢) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷))) → (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))(.r𝐷)(𝐺𝑋)) = ((𝐺𝑢)(.r𝐷)(((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))(.r𝐷)(𝐺𝑋))))
6324, 28, 38, 33, 62syl13anc 1479 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))(.r𝐷)(𝐺𝑋)) = ((𝐺𝑢)(.r𝐷)(((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))(.r𝐷)(𝐺𝑋))))
64 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 (1r𝐷) = (1r𝐷)
6526, 35, 39, 64, 36drnginvrl 18988 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → (((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))(.r𝐷)(𝐺𝑋)) = (1r𝐷))
6630, 33, 34, 65syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))(.r𝐷)(𝐺𝑋)) = (1r𝐷))
6766oveq2d 6830 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝐺𝑢)(.r𝐷)(((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))(.r𝐷)(𝐺𝑋))) = ((𝐺𝑢)(.r𝐷)(1r𝐷)))
6826, 39, 64ringridm 18792 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑢) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺𝑢)(.r𝐷)(1r𝐷)) = (𝐺𝑢))
6924, 28, 68syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝐺𝑢)(.r𝐷)(1r𝐷)) = (𝐺𝑢))
7067, 69eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝐺𝑢)(.r𝐷)(((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))(.r𝐷)(𝐺𝑋))) = (𝐺𝑢))
7161, 63, 703eqtrd 2798 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐺‘(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) = (𝐺𝑢))
7271oveq2d 6830 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝐺𝑢)(-g𝐷)(𝐺‘(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))) = ((𝐺𝑢)(-g𝐷)(𝐺𝑢)))
7322lmodfgrp 19094 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
7420, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝐷 ∈ Grp)
7526, 35, 57grpsubid 17720 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺𝑢) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺𝑢)(-g𝐷)(𝐺𝑢)) = 0 )
7674, 28, 75syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝐺𝑢)(-g𝐷)(𝐺𝑢)) = 0 )
7759, 72, 763eqtrd 2798 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐺‘(𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))) = 0 )
7810, 22, 35, 4, 5ellkr 34897 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾𝐺) ↔ ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))) = 0 )))
7919, 25, 78syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾𝐺) ↔ ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))) = 0 )))
8056, 77, 79mpbir2and 995 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾𝐺))
8110, 42, 22, 26, 11, 20, 41, 31lspsneli 19223 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
8245, 14lsmelvali 18285 . . . . . 6 ((((𝐾𝐺) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾𝐺) ∧ (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))(+g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})))
8352, 54, 80, 81, 82syl22anc 1478 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))(+g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})))
8448, 83eqeltrrd 2840 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑢 ∈ ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})))
8584ex 449 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → (𝑢𝑉𝑢 ∈ ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋}))))
8685ssrdv 3750 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → 𝑉 ⊆ ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})))
8718, 86eqssd 3761 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wss 3715  {csn 4321  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  .rcmulr 16164  Scalarcsca 16166   ·𝑠 cvsca 16167  0gc0g 16322  Grpcgrp 17643  -gcsg 17645  SubGrpcsubg 17809  LSSumclsm 18269  1rcur 18721  Ringcrg 18767  invrcinvr 18891  DivRingcdr 18969  LModclmod 19085  LSubSpclss 19154  LSpanclspn 19193  LVecclvec 19324  LFnlclfn 34865  LKerclk 34893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-lsm 18271  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-drng 18971  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lvec 19325  df-lfl 34866  df-lkr 34894
This theorem is referenced by:  lkrlsp2  34911
  Copyright terms: Public domain W3C validator