Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkreqN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkreqN 34775
 Description: Proportional functionals have equal kernels. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lkreq.s 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lkreq.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lkreq.o 0 = (0g𝑆)
lkreq.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkreq.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkreq.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkreq.t · = ( ·𝑠𝐷)
lkreq.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkreq.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }))
lkreq.h (𝜑𝐻𝐹)
lkreq.g (𝜑𝐺 = (𝐴 · 𝐻))
Assertion
Ref Expression
lkreqN (𝜑 → (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻))

Proof of Theorem lkreqN
StepHypRef Expression
1 lkreq.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 = (𝐴 · 𝐻))
21eqeq1d 2653 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 = (0g𝐷) ↔ (𝐴 · 𝐻) = (0g𝐷)))
3 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4 lkreq.t . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝐷)
5 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
6 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
7 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝐷))
8 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (0g𝐷) = (0g𝐷)
9 lkreq.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (LDual‘𝑊)
10 lkreq.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
119, 10lduallvec 34759 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ LVec)
12 lkreq.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }))
1312eldifad 3619 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝑅)
14 lkreq.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
15 lkreq.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (Base‘𝑆)
1614, 15, 9, 5, 6, 10ldualsbase 34738 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = 𝑅)
1713, 16eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
18 lkreq.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
19 lkreq.h . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻𝐹)
2018, 9, 3, 10, 19ldualelvbase 34732 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
213, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 17, 20lvecvs0or 19156 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐻) = (0g𝐷) ↔ (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = (0g𝐷))))
22 lkreq.o . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g𝑆)
23 lveclmod 19154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2410, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2514, 22, 9, 5, 7, 24ldual0 34752 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = 0 )
2625eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ↔ 𝐴 = 0 ))
27 eldifsni 4353 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }) → 𝐴0 )
2812, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴0 )
2928a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐻 ≠ (0g𝐷) → 𝐴0 ))
3029necon4d 2847 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 = 0𝐻 = (0g𝐷)))
3126, 30sylbid 230 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) → 𝐻 = (0g𝐷)))
32 idd 24 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻 = (0g𝐷) → 𝐻 = (0g𝐷)))
3331, 32jaod 394 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = (0g𝐷)) → 𝐻 = (0g𝐷)))
3421, 33sylbid 230 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐻) = (0g𝐷) → 𝐻 = (0g𝐷)))
352, 34sylbid 230 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 = (0g𝐷) → 𝐻 = (0g𝐷)))
36 nne 2827 . . . . . . 7 𝐻 ≠ (0g𝐷) ↔ 𝐻 = (0g𝐷))
3735, 36syl6ibr 242 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 = (0g𝐷) → ¬ 𝐻 ≠ (0g𝐷)))
3837con3d 148 . . . . 5 (𝜑 → (¬ ¬ 𝐻 ≠ (0g𝐷) → ¬ 𝐺 = (0g𝐷)))
3938orrd 392 . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝐻 ≠ (0g𝐷) ∨ ¬ 𝐺 = (0g𝐷)))
40 ianor 508 . . . 4 (¬ (𝐻 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐺 = (0g𝐷)) ↔ (¬ 𝐻 ≠ (0g𝐷) ∨ ¬ 𝐺 = (0g𝐷)))
4139, 40sylibr 224 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝐻 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐺 = (0g𝐷)))
42 df-pss 3623 . . . . . 6 ((𝐾𝐻) ⊊ (𝐾𝐺) ↔ ((𝐾𝐻) ⊆ (𝐾𝐺) ∧ (𝐾𝐻) ≠ (𝐾𝐺)))
43 lkreq.k . . . . . . 7 𝐾 = (LKer‘𝑊)
4418, 14, 15, 9, 4, 24, 13, 19ldualvscl 34744 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · 𝐻) ∈ 𝐹)
451, 44eqeltrd 2730 . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝐹)
4618, 43, 9, 8, 10, 19, 45lkrpssN 34768 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾𝐻) ⊊ (𝐾𝐺) ↔ (𝐻 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐺 = (0g𝐷))))
4742, 46syl5rbbr 275 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐻 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐺 = (0g𝐷)) ↔ ((𝐾𝐻) ⊆ (𝐾𝐺) ∧ (𝐾𝐻) ≠ (𝐾𝐺))))
4814, 15, 18, 43, 9, 4, 10, 19, 13lkrss 34773 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝐻) ⊆ (𝐾‘(𝐴 · 𝐻)))
491fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝐺) = (𝐾‘(𝐴 · 𝐻)))
5048, 49sseqtr4d 3675 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾𝐻) ⊆ (𝐾𝐺))
5150biantrurd 528 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾𝐻) ≠ (𝐾𝐺) ↔ ((𝐾𝐻) ⊆ (𝐾𝐺) ∧ (𝐾𝐻) ≠ (𝐾𝐺))))
5247, 51bitr4d 271 . . . 4 (𝜑 → ((𝐻 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐺 = (0g𝐷)) ↔ (𝐾𝐻) ≠ (𝐾𝐺)))
5352necon2bbid 2866 . . 3 (𝜑 → ((𝐾𝐻) = (𝐾𝐺) ↔ ¬ (𝐻 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐺 = (0g𝐷))))
5441, 53mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝐾𝐻) = (𝐾𝐺))
5554eqcomd 2657 1 (𝜑 → (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ∖ cdif 3604   ⊆ wss 3607   ⊊ wpss 3608  {csn 4210  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147  LModclmod 18911  LVecclvec 19150  LFnlclfn 34662  LKerclk 34690  LDualcld 34728 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151  df-lshyp 34582  df-lfl 34663  df-lkr 34691  df-ldual 34729 This theorem is referenced by:  lkrlspeqN  34776  lcdlkreq2N  37229
 Copyright terms: Public domain W3C validator