Theorem linply1 42699

Description: A term of the form 𝑥 − 𝐶 is a (univariate) polynomial, also called "linear polynomial". (Part of ply1remlem 24141). (Contributed by AV, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
linply1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
linply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
linply1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
linply1.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
linply1.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
linply1.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
linply1.g	⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝐶))
linply1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
linply1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
linply1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem linply1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		linply1.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝐶))
2		linply1.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		linply1.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4	3	ply1ring 19832	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
5		ringgrp 18759	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
6	2, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
7		linply1.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
8		linply1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9	7, 3, 8	vr1cl 19801	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	2, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		linply1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
12		linply1.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
13	3, 11, 12, 8	ply1sclf 19869	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
14	2, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
15		linply1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
16	14, 15	ffvelrnd 6503	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ 𝐵)
17		linply1.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑃)
18	8, 17	grpsubcl 17702	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑋 − (𝐴‘𝐶)) ∈ 𝐵)
19	6, 10, 16, 18	syl3anc 1475	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝐴‘𝐶)) ∈ 𝐵)
20	1, 19	syl5eqel 2853	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  Grpcgrp 17629  -_gcsg 17631  Ringcrg 18754  algSccascl 19525  var₁cv1 19760  Poly₁cpl1 19761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-ofr 7044  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-hash 13321  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-tset 16167  df-ple 16168  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-mulg 17748  df-subg 17798  df-ghm 17865  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-subrg 18987  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-ascl 19528  df-psr 19570  df-mvr 19571  df-mpl 19572  df-opsr 19574  df-psr1 19764  df-vr1 19765  df-ply1 19766

This theorem is referenced by: (None)