Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lineintmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lineintmo 32389
 Description: Two distinct lines intersect in at most one point. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Scott Fenton, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
lineintmo ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE ∧ 𝐴𝐵) → ∃*𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem lineintmo
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 an4 882 . . . . . . 7 (((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑦𝐵)) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
2 linethru 32385 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐴 = (𝑥Line𝑦))
323expa 1284 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐴 = (𝑥Line𝑦))
4 linethru 32385 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐵 = (𝑥Line𝑦))
543expa 1284 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐵 = (𝑥Line𝑦))
6 eqtr3 2672 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 = (𝑥Line𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑥Line𝑦)) → 𝐴 = 𝐵)
73, 5, 6syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑥𝑦) ∧ ((𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐴 = 𝐵)
87anandirs 891 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵))) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐴 = 𝐵)
98ex 449 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵))) → (𝑥𝑦𝐴 = 𝐵))
109necon1d 2845 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵))) → (𝐴𝐵𝑥 = 𝑦))
1110an4s 886 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵))) → (𝐴𝐵𝑥 = 𝑦))
121, 11sylan2b 491 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑦𝐵))) → (𝐴𝐵𝑥 = 𝑦))
1312ex 449 . . . . 5 ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE) → (((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑦𝐵)) → (𝐴𝐵𝑥 = 𝑦)))
1413com23 86 . . . 4 ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE) → (𝐴𝐵 → (((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑦𝐵)) → 𝑥 = 𝑦)))
15143impia 1280 . . 3 ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑦𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
1615alrimivv 1896 . 2 ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE ∧ 𝐴𝐵) → ∀𝑥𝑦(((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑦𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
17 eleq1 2718 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
18 eleq1 2718 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
1917, 18anbi12d 747 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝐵)))
2019mo4 2546 . 2 (∃*𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ ∀𝑥𝑦(((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑦𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
2116, 20sylibr 224 1 ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE ∧ 𝐴𝐵) → ∃*𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054  ∀wal 1521   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃*wmo 2499   ≠ wne 2823  (class class class)co 6690  Linecline2 32366  LinesEEclines2 32368 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-ec 7789  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-ee 25816  df-btwn 25817  df-cgr 25818  df-ofs 32215  df-colinear 32271  df-ifs 32272  df-cgr3 32273  df-fs 32274  df-line2 32369  df-lines2 32371 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator