MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindsmm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindsmm 20369
Description: Linear independence of a set is unchanged by injective linear functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfmm.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
lindfmm.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
lindsmm ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)))

Proof of Theorem lindsmm
StepHypRef Expression
1 ibar 526 . . . 4 (𝐹𝐵 → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
213ad2ant3 1130 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
3 f1oi 6335 . . . . . 6 ( I ↾ 𝐹):𝐹1-1-onto𝐹
4 f1of 6298 . . . . . 6 (( I ↾ 𝐹):𝐹1-1-onto𝐹 → ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐹)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐹
6 simp3 1133 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → 𝐹𝐵)
7 fss 6217 . . . . 5 ((( I ↾ 𝐹):𝐹𝐹𝐹𝐵) → ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐵)
85, 6, 7sylancr 698 . . . 4 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐵)
9 lindfmm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
10 lindfmm.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑇)
119, 10lindfmm 20368 . . . 4 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶 ∧ ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
128, 11syld3an3 1516 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆 ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
132, 12bitr3d 270 . 2 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → ((𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆) ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
14 lmhmlmod1 19235 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
15143ad2ant1 1128 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → 𝑆 ∈ LMod)
169islinds 20350 . . 3 (𝑆 ∈ LMod → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
1715, 16syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑆)))
18 lmhmlmod2 19234 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
19183ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → 𝑇 ∈ LMod)
2019adantr 472 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → 𝑇 ∈ LMod)
21 simpr 479 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
22 f1ores 6312 . . . . . . . 8 ((𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐺𝐹):𝐹1-1-onto→(𝐺𝐹))
23 f1of1 6297 . . . . . . . 8 ((𝐺𝐹):𝐹1-1-onto→(𝐺𝐹) → (𝐺𝐹):𝐹1-1→(𝐺𝐹))
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐺𝐹):𝐹1-1→(𝐺𝐹))
25243adant1 1125 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐺𝐹):𝐹1-1→(𝐺𝐹))
2625adantr 472 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺𝐹):𝐹1-1→(𝐺𝐹))
27 f1linds 20366 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ∧ (𝐺𝐹):𝐹1-1→(𝐺𝐹)) → (𝐺𝐹) LIndF 𝑇)
2820, 21, 26, 27syl3anc 1477 . . . 4 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)) → (𝐺𝐹) LIndF 𝑇)
29 df-ima 5279 . . . . 5 (𝐺𝐹) = ran (𝐺𝐹)
30 lindfrn 20362 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐺𝐹) LIndF 𝑇) → ran (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
3119, 30sylan 489 . . . . 5 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) LIndF 𝑇) → ran (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
3229, 31syl5eqel 2843 . . . 4 (((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) ∧ (𝐺𝐹) LIndF 𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇))
3328, 32impbida 913 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → ((𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ↔ (𝐺𝐹) LIndF 𝑇))
34 coires1 5814 . . . 4 (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) = (𝐺𝐹)
3534breq1i 4811 . . 3 ((𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇 ↔ (𝐺𝐹) LIndF 𝑇)
3633, 35syl6bbr 278 . 2 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → ((𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇) ↔ (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐹)) LIndF 𝑇))
3713, 17, 363bitr4d 300 1 ((𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺:𝐵1-1𝐶𝐹𝐵) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑆) ↔ (𝐺𝐹) ∈ (LIndS‘𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715   class class class wbr 4804   I cid 5173  ran crn 5267  cres 5268  cima 5269  ccom 5270  wf 6045  1-1wf1 6046  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  LModclmod 19065   LMHom clmhm 19221   LIndF clindf 20345  LIndSclinds 20346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19174  df-lmhm 19224  df-lindf 20347  df-linds 20348
This theorem is referenced by:  lindsmm2  20370
  Copyright terms: Public domain W3C validator