Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindslinindimp2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindslinindimp2lem1 42572
 Description: Lemma 1 for lindslinindsimp2 42577. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lindslinind.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
lindslinind.0 0 = (0g𝑅)
lindslinind.z 𝑍 = (0g𝑀)
lindslinind.y 𝑌 = ((invg𝑅)‘(𝑓𝑥))
lindslinind.g 𝐺 = (𝑓 ↾ (𝑆 ∖ {𝑥}))
Assertion
Ref Expression
lindslinindimp2lem1 (((𝑆𝑉𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥𝑆𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝑆))) → 𝑌𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝑀   𝑅,𝑓,𝑥   𝑆,𝑓,𝑥   𝑓,𝑍   0 ,𝑓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑓)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑓)   𝑌(𝑥,𝑓)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lindslinindimp2lem1
StepHypRef Expression
1 lindslinind.y . 2 𝑌 = ((invg𝑅)‘(𝑓𝑥))
2 lindslinind.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
32lmodfgrp 18920 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
43adantl 481 . . 3 ((𝑆𝑉𝑀 ∈ LMod) → 𝑅 ∈ Grp)
5 elmapi 7921 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝑆) → 𝑓:𝑆𝐵)
6 ffvelrn 6397 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝑆𝐵𝑥𝑆) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
76a1d 25 . . . . . . 7 ((𝑓:𝑆𝐵𝑥𝑆) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
87ex 449 . . . . . 6 (𝑓:𝑆𝐵 → (𝑥𝑆 → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)))
95, 8syl 17 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝑆) → (𝑥𝑆 → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)))
109com13 88 . . . 4 (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑥𝑆 → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝑆) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)))
11103imp 1275 . . 3 ((𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥𝑆𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝑆)) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
12 lindslinind.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
13 eqid 2651 . . . 4 (invg𝑅) = (invg𝑅)
1412, 13grpinvcl 17514 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵) → ((invg𝑅)‘(𝑓𝑥)) ∈ 𝐵)
154, 11, 14syl2an 493 . 2 (((𝑆𝑉𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥𝑆𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝑆))) → ((invg𝑅)‘(𝑓𝑥)) ∈ 𝐵)
161, 15syl5eqel 2734 1 (((𝑆𝑉𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥𝑆𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝑆))) → 𝑌𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∖ cdif 3604   ⊆ wss 3607  {csn 4210   ↾ cres 5145  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑𝑚 cmap 7899  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  invgcminusg 17470  LModclmod 18911 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-map 7901  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-ring 18595  df-lmod 18913 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator