Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincvalsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincvalsng 42733
Description: The linear combination over a singleton. (Contributed by AV, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincvalsn.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsn.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsn.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincvalsn.t · = ( ·𝑠𝑀)
Assertion
Ref Expression
lincvalsng ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑌 · 𝑉))

Proof of Theorem lincvalsng
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1130 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑀 ∈ LMod)
2 simp2 1131 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑉𝐵)
3 lincvalsn.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Base‘𝑆)
4 lincvalsn.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
54fveq2i 6335 . . . . . . . 8 (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
63, 5eqtri 2793 . . . . . . 7 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
76eleq2i 2842 . . . . . 6 (𝑌𝑅𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
87biimpi 206 . . . . 5 (𝑌𝑅𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
983ad2ant3 1129 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
10 fvexd 6344 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
11 eqid 2771 . . . . 5 {⟨𝑉, 𝑌⟩} = {⟨𝑉, 𝑌⟩}
1211mapsnop 42651 . . . 4 ((𝑉𝐵𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V) → {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 {𝑉}))
132, 9, 10, 12syl3anc 1476 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 {𝑉}))
14 snelpwi 5040 . . . . 5 (𝑉 ∈ (Base‘𝑀) → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
15 lincvalsn.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
1614, 15eleq2s 2868 . . . 4 (𝑉𝐵 → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
17163ad2ant2 1128 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18 lincval 42726 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 {𝑉}) ∧ {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
191, 13, 17, 18syl3anc 1476 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
20 lmodgrp 19080 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
21 grpmnd 17637 . . . . 5 (𝑀 ∈ Grp → 𝑀 ∈ Mnd)
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Mnd)
23223ad2ant1 1127 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑀 ∈ Mnd)
24 fvsng 6591 . . . . . 6 ((𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑌)
25243adant1 1124 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑌)
2625oveq1d 6808 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) = (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑉))
27 eqid 2771 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
2815, 4, 27, 3lmodvscl 19090 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑅𝑉𝐵) → (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
29283com23 1120 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
3026, 29eqeltrd 2850 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
31 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉 → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉))
32 id 22 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉𝑣 = 𝑉)
3331, 32oveq12d 6811 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉))
3415, 33gsumsn 18561 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝐵 ∧ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉))
3523, 2, 30, 34syl3anc 1476 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉))
36 lincvalsn.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑀)
3736eqcomi 2780 . . . 4 ( ·𝑠𝑀) = ·
3837a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ( ·𝑠𝑀) = · )
39 eqidd 2772 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑉 = 𝑉)
4038, 25, 39oveq123d 6814 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) = (𝑌 · 𝑉))
4119, 35, 403eqtrd 2809 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑌 · 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  𝒫 cpw 4297  {csn 4316  cop 4322  cmpt 4863  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑚 cmap 8009  Basecbs 16064  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153   Σg cgsu 16309  Mndcmnd 17502  Grpcgrp 17630  LModclmod 19073   linC clinc 42721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-lmod 19075  df-linc 42723
This theorem is referenced by:  lincvalsn  42734  snlindsntorlem  42787  ldepsnlinclem1  42822  ldepsnlinclem2  42823
  Copyright terms: Public domain W3C validator