Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincvalpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincvalpr 42686
Description: The linear combination over an unordered pair. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincvalsn.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsn.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsn.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincvalsn.t · = ( ·𝑠𝑀)
lincvalpr.p + = (+g𝑀)
lincvalpr.f 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}
Assertion
Ref Expression
lincvalpr (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = ((𝑋 · 𝑉) + (𝑌 · 𝑊)))

Proof of Theorem lincvalpr
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) → 𝑀 ∈ LMod)
213ad2ant1 1125 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑀 ∈ LMod)
3 lincvalsn.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Base‘𝑆)
4 lincvalsn.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
54fveq2i 6343 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
63, 5eqtri 2770 . . . . . . . 8 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
76eleq2i 2819 . . . . . . 7 (𝑋𝑅𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
87biimpi 206 . . . . . 6 (𝑋𝑅𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
98anim2i 594 . . . . 5 ((𝑉𝐵𝑋𝑅) → (𝑉𝐵𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
1093ad2ant2 1126 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝑉𝐵𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
116eleq2i 2819 . . . . . . 7 (𝑌𝑅𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
1211biimpi 206 . . . . . 6 (𝑌𝑅𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
1312anim2i 594 . . . . 5 ((𝑊𝐵𝑌𝑅) → (𝑊𝐵𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
14133ad2ant3 1127 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝑊𝐵𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
15 fvexd 6352 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
1615anim2i 594 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝑀 ∈ LMod) → (𝑉𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V))
1716ancoms 468 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) → (𝑉𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V))
18173ad2ant1 1125 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝑉𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V))
19 lincvalpr.f . . . . 5 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}
2019mapprop 42603 . . . 4 (((𝑉𝐵𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))) ∧ (𝑊𝐵𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))) ∧ (𝑉𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 {𝑉, 𝑊}))
2110, 14, 18, 20syl3anc 1463 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 {𝑉, 𝑊}))
22 lincvalsn.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
2322eleq2i 2819 . . . . . . 7 (𝑉𝐵𝑉 ∈ (Base‘𝑀))
2423biimpi 206 . . . . . 6 (𝑉𝐵𝑉 ∈ (Base‘𝑀))
2524adantr 472 . . . . 5 ((𝑉𝐵𝑋𝑅) → 𝑉 ∈ (Base‘𝑀))
2622eleq2i 2819 . . . . . . 7 (𝑊𝐵𝑊 ∈ (Base‘𝑀))
2726biimpi 206 . . . . . 6 (𝑊𝐵𝑊 ∈ (Base‘𝑀))
2827adantr 472 . . . . 5 ((𝑊𝐵𝑌𝑅) → 𝑊 ∈ (Base‘𝑀))
29 prelpwi 5052 . . . . 5 ((𝑉 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝑀)) → {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
3025, 28, 29syl2an 495 . . . 4 (((𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
31303adant1 1122 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
32 lincval 42677 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 {𝑉, 𝑊}) ∧ {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
332, 21, 31, 32syl3anc 1463 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
34 lmodcmn 19084 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
3534adantr 472 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) → 𝑀 ∈ CMnd)
36353ad2ant1 1125 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑀 ∈ CMnd)
37 simpr 479 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) → 𝑉𝑊)
38 simpl 474 . . . . 5 ((𝑉𝐵𝑋𝑅) → 𝑉𝐵)
39 simpl 474 . . . . 5 ((𝑊𝐵𝑌𝑅) → 𝑊𝐵)
4037, 38, 393anim123i 1408 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝑉𝑊𝑉𝐵𝑊𝐵))
41 3anrot 1087 . . . 4 ((𝑉𝑊𝑉𝐵𝑊𝐵) ↔ (𝑉𝐵𝑊𝐵𝑉𝑊))
4240, 41sylib 208 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝑉𝐵𝑊𝐵𝑉𝑊))
4319a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩})
4443fveq1d 6342 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → (𝐹𝑉) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉))
45 simprl 811 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → 𝑉𝐵)
46 simprr 813 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → 𝑋𝑅)
4737adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → 𝑉𝑊)
48 fvpr1g 6610 . . . . . . . 8 ((𝑉𝐵𝑋𝑅𝑉𝑊) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑋)
4945, 46, 47, 48syl3anc 1463 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑋)
5044, 49eqtrd 2782 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → (𝐹𝑉) = 𝑋)
5150oveq1d 6816 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → ((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) = (𝑋( ·𝑠𝑀)𝑉))
521adantr 472 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → 𝑀 ∈ LMod)
53 eqid 2748 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
5422, 4, 53, 3lmodvscl 19053 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑅𝑉𝐵) → (𝑋( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
5552, 46, 45, 54syl3anc 1463 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → (𝑋( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
5651, 55eqeltrd 2827 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → ((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
57563adant3 1124 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
5819a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩})
5958fveq1d 6342 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝐹𝑊) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊))
60 simprl 811 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑊𝐵)
61 simprr 813 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑌𝑅)
6237adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑉𝑊)
63 fvpr2g 6611 . . . . . . . 8 ((𝑊𝐵𝑌𝑅𝑉𝑊) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊) = 𝑌)
6460, 61, 62, 63syl3anc 1463 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊) = 𝑌)
6559, 64eqtrd 2782 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝐹𝑊) = 𝑌)
6665oveq1d 6816 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊) = (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑊))
671adantr 472 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑀 ∈ LMod)
6822, 4, 53, 3lmodvscl 19053 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑅𝑊𝐵) → (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
6967, 61, 60, 68syl3anc 1463 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
7066, 69eqeltrd 2827 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
71703adant2 1123 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
72 lincvalpr.p . . . 4 + = (+g𝑀)
73 fveq2 6340 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑉))
74 id 22 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉𝑣 = 𝑉)
7573, 74oveq12d 6819 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = ((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉))
76 fveq2 6340 . . . . 5 (𝑣 = 𝑊 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑊))
77 id 22 . . . . 5 (𝑣 = 𝑊𝑣 = 𝑊)
7876, 77oveq12d 6819 . . . 4 (𝑣 = 𝑊 → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊))
7922, 72, 75, 78gsumpr 42618 . . 3 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑉𝐵𝑊𝐵𝑉𝑊) ∧ (((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) + ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊)))
8036, 42, 57, 71, 79syl112anc 1467 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) + ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊)))
81 lincvalsn.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑀)
8281a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → · = ( ·𝑠𝑀))
8382eqcomd 2754 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ( ·𝑠𝑀) = · )
8419fveq1i 6341 . . . . 5 (𝐹𝑉) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉)
85383ad2ant2 1126 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑉𝐵)
86 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝑉𝐵𝑋𝑅) → 𝑋𝑅)
87863ad2ant2 1126 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑋𝑅)
88373ad2ant1 1125 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑉𝑊)
8985, 87, 88, 48syl3anc 1463 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑋)
9084, 89syl5eq 2794 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝐹𝑉) = 𝑋)
91 eqidd 2749 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑉 = 𝑉)
9283, 90, 91oveq123d 6822 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) = (𝑋 · 𝑉))
9319fveq1i 6341 . . . . 5 (𝐹𝑊) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊)
94393ad2ant3 1127 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑊𝐵)
95 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝑊𝐵𝑌𝑅) → 𝑌𝑅)
96953ad2ant3 1127 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑌𝑅)
9794, 96, 88, 63syl3anc 1463 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊) = 𝑌)
9893, 97syl5eq 2794 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝐹𝑊) = 𝑌)
99 eqidd 2749 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑊 = 𝑊)
10083, 98, 99oveq123d 6822 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊) = (𝑌 · 𝑊))
10192, 100oveq12d 6819 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) + ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊)) = ((𝑋 · 𝑉) + (𝑌 · 𝑊)))
10233, 80, 1013eqtrd 2786 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = ((𝑋 · 𝑉) + (𝑌 · 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  Vcvv 3328  𝒫 cpw 4290  {cpr 4311  cop 4315  cmpt 4869  cfv 6037  (class class class)co 6801  𝑚 cmap 8011  Basecbs 16030  +gcplusg 16114  Scalarcsca 16117   ·𝑠 cvsca 16118   Σg cgsu 16274  CMndccmn 18364  LModclmod 19036   linC clinc 42672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-seq 12967  df-hash 13283  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-submnd 17508  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-mulg 17713  df-cntz 17921  df-cmn 18366  df-abl 18367  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-lmod 19038  df-linc 42674
This theorem is referenced by:  ldepspr  42741
  Copyright terms: Public domain W3C validator