Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincresunit3lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincresunit3lem1 42796
 Description: Lemma 1 for lincresunit3 42798. (Contributed by AV, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0 0 = (0g𝑅)
lincresunit.z 𝑍 = (0g𝑀)
lincresunit.n 𝑁 = (invg𝑅)
lincresunit.i 𝐼 = (invr𝑅)
lincresunit.t · = (.r𝑅)
lincresunit.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)))
Assertion
Ref Expression
lincresunit3lem1 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹𝑋))( ·𝑠𝑀)((𝐺𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧)) = ((𝐹𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   𝑈,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   · ,𝑠   𝑧,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝑅(𝑧,𝑠)   𝑆(𝑧)   · (𝑧)   𝑈(𝑧)   𝐸(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝐺(𝑧,𝑠)   𝐼(𝑧)   𝑀(𝑧)   𝑁(𝑧)   𝑋(𝑧)   0 (𝑧,𝑠)   𝑍(𝑧,𝑠)

Proof of Theorem lincresunit3lem1
StepHypRef Expression
1 lincresunit.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)))
21a1i 11 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠))))
3 fveq2 6353 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑧 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑧))
43oveq2d 6830 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑧 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)))
54adantl 473 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝑠 = 𝑧) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)))
6 simpr3 1238 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
7 ovexd 6844 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)) ∈ V)
82, 5, 6, 7fvmptd 6451 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝐺𝑧) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)))
98oveq1d 6829 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝐺𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧) = (((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧))( ·𝑠𝑀)𝑧))
109oveq2d 6830 . 2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹𝑋))( ·𝑠𝑀)((𝐺𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧)) = ((𝑁‘(𝐹𝑋))( ·𝑠𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧))( ·𝑠𝑀)𝑧)))
11 simp2 1132 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
1211adantr 472 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑀 ∈ LMod)
13 lincresunit.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
1413lmodfgrp 19094 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
15143ad2ant2 1129 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
16 lincresunit.e . . . . . 6 𝐸 = (Base‘𝑅)
17 lincresunit.u . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1816, 17unitcl 18879 . . . . 5 ((𝐹𝑋) ∈ 𝑈 → (𝐹𝑋) ∈ 𝐸)
19183ad2ant2 1129 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐸)
20 lincresunit.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝑅)
2116, 20grpinvcl 17688 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝐸) → (𝑁‘(𝐹𝑋)) ∈ 𝐸)
2215, 19, 21syl2an 495 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝑁‘(𝐹𝑋)) ∈ 𝐸)
23 3simpa 1143 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈))
2423anim2i 594 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)))
25 eldifi 3875 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑧𝑆)
26253ad2ant3 1130 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧𝑆)
2726adantl 473 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑧𝑆)
28 lincresunit.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
29 lincresunit.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
30 lincresunit.z . . . . 5 𝑍 = (0g𝑀)
31 lincresunit.i . . . . 5 𝐼 = (invr𝑅)
32 lincresunit.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
3328, 13, 16, 17, 29, 30, 20, 31, 32, 1lincresunitlem2 42793 . . . 4 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)) ∈ 𝐸)
3424, 27, 33syl2anc 696 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)) ∈ 𝐸)
35 elpwi 4312 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑆𝐵)
3635sseld 3743 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑧𝑆𝑧𝐵))
3725, 36syl5com 31 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑧𝐵))
38373ad2ant3 1130 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑧𝐵))
3938com12 32 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧𝐵))
40393ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → ((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧𝐵))
4140imp 444 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑧𝐵)
42 eqid 2760 . . . . 5 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
4328, 13, 42, 16, 32lmodvsass 19110 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘(𝐹𝑋)) ∈ 𝐸 ∧ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)) ∈ 𝐸𝑧𝐵)) → (((𝑁‘(𝐹𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)))( ·𝑠𝑀)𝑧) = ((𝑁‘(𝐹𝑋))( ·𝑠𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧))( ·𝑠𝑀)𝑧)))
4443eqcomd 2766 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘(𝐹𝑋)) ∈ 𝐸 ∧ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)) ∈ 𝐸𝑧𝐵)) → ((𝑁‘(𝐹𝑋))( ·𝑠𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧))( ·𝑠𝑀)𝑧)) = (((𝑁‘(𝐹𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)))( ·𝑠𝑀)𝑧))
4512, 22, 34, 41, 44syl13anc 1479 . 2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹𝑋))( ·𝑠𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧))( ·𝑠𝑀)𝑧)) = (((𝑁‘(𝐹𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)))( ·𝑠𝑀)𝑧))
4613lmodring 19093 . . . . . 6 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
47463ad2ant2 1129 . . . . 5 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
4847adantr 472 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑅 ∈ Ring)
49 elmapi 8047 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) → 𝐹:𝑆𝐸)
50 ffvelrn 6521 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑆𝐸𝑧𝑆) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐸)
5149, 25, 50syl2an 495 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐸)
52513adant2 1126 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐸)
5352adantl 473 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐸)
54 simp2 1132 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)
5554adantl 473 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)
5616, 17, 20, 31, 32invginvrid 42676 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝐸 ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) → ((𝑁‘(𝐹𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧))) = (𝐹𝑧))
5748, 53, 55, 56syl3anc 1477 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧))) = (𝐹𝑧))
5857oveq1d 6829 . 2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (((𝑁‘(𝐹𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)))( ·𝑠𝑀)𝑧) = ((𝐹𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧))
5910, 45, 583eqtrd 2798 1 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹𝑋))( ·𝑠𝑀)((𝐺𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧)) = ((𝐹𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712  𝒫 cpw 4302  {csn 4321   ↦ cmpt 4881  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ↑𝑚 cmap 8025  Basecbs 16079  .rcmulr 16164  Scalarcsca 16166   ·𝑠 cvsca 16167  0gc0g 16322  Grpcgrp 17643  invgcminusg 17644  Ringcrg 18767  Unitcui 18859  invrcinvr 18891  LModclmod 19085 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-lmod 19087 This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  42797
 Copyright terms: Public domain W3C validator