Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincfsuppcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincfsuppcl 42727
 Description: A linear combination of vectors (with finite support) is a vector. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincfsuppcl.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincfsuppcl.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincfsuppcl.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
lincfsuppcl.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
lincfsuppcl ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lincfsuppcl
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1130 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ LMod)
2 lincfsuppcl.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Base‘𝑅)
3 lincfsuppcl.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
43fveq2i 6336 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
52, 4eqtri 2793 . . . . . . . 8 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
65oveq1i 6806 . . . . . . 7 (𝑆𝑚 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉)
76eleq2i 2842 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ↔ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
87biimpi 206 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
98adantr 466 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
1093ad2ant3 1129 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
11 elpwg 4306 . . . . . 6 (𝑉𝑊 → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
12 lincfsuppcl.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑀)
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑉𝑊𝐵 = (Base‘𝑀))
1413eqcomd 2777 . . . . . . 7 (𝑉𝑊 → (Base‘𝑀) = 𝐵)
1514sseq2d 3782 . . . . . 6 (𝑉𝑊 → (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) ↔ 𝑉𝐵))
1611, 15bitr2d 269 . . . . 5 (𝑉𝑊 → (𝑉𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
1716biimpa 462 . . . 4 ((𝑉𝑊𝑉𝐵) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18173ad2ant2 1128 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
19 lincval 42723 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
201, 10, 18, 19syl3anc 1476 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
21 eqid 2771 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
22 lmodcmn 19121 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
23223ad2ant1 1127 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ CMnd)
24 simpl 468 . . . 4 ((𝑉𝑊𝑉𝐵) → 𝑉𝑊)
25243ad2ant2 1128 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑉𝑊)
261adantr 466 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
27 elmapi 8035 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) → 𝐹:𝑉𝑆)
28 ffvelrn 6502 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑉𝑆𝑣𝑉) → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆)
2928ex 397 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉𝑆 → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆))
3027, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆))
3130adantr 466 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆))
32313ad2ant3 1129 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆))
3332imp 393 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆)
34 ssel 3746 . . . . . . . 8 (𝑉𝐵 → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
3534adantl 467 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊𝑉𝐵) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
36353ad2ant2 1128 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
3736imp 393 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝐵)
38 eqid 2771 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
3912, 3, 38, 2lmodvscl 19090 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑣) ∈ 𝑆𝑣𝐵) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
4026, 33, 37, 39syl3anc 1476 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
4140fmpttd 6530 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)):𝑉𝐵)
42 simpl 468 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉))
43423ad2ant3 1129 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉))
44 simp3r 1244 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 finSupp 0 )
45 lincfsuppcl.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
4644, 45syl6breq 4828 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 finSupp (0g𝑅))
473, 2scmfsupp 42684 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅)) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
481, 18, 43, 46, 47syl211anc 1482 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
4912, 21, 23, 25, 41, 48gsumcl 18523 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) ∈ 𝐵)
5020, 49eqeltrd 2850 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3723  𝒫 cpw 4298   class class class wbr 4787   ↦ cmpt 4864  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796   ↑𝑚 cmap 8013   finSupp cfsupp 8435  Basecbs 16064  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  0gc0g 16308   Σg cgsu 16309  CMndccmn 18400  LModclmod 19073   linC clinc 42718 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-lmod 19075  df-linc 42720 This theorem is referenced by:  lindslinindimp2lem4  42775
 Copyright terms: Public domain W3C validator