Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincext1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincext1 42771
 Description: Property 1 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 29-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincext.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincext.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincext.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincext.0 0 = (0g𝑅)
lincext.z 𝑍 = (0g𝑀)
lincext.n 𝑁 = (invg𝑅)
lincext.f 𝐹 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧)))
Assertion
Ref Expression
lincext1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐸   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑆   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝑁(𝑧)   0 (𝑧)   𝑍(𝑧)

Proof of Theorem lincext1
StepHypRef Expression
1 lincext.f . 2 𝐹 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧)))
2 lincext.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
3 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
43lmodfgrp 19094 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ LMod → (Scalar‘𝑀) ∈ Grp)
54ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (Scalar‘𝑀) ∈ Grp)
62, 5syl5eqel 2843 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑅 ∈ Grp)
7 simpr1 1234 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑌𝐸)
8 lincext.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Base‘𝑅)
9 lincext.n . . . . . . . 8 𝑁 = (invg𝑅)
108, 9grpinvcl 17688 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐸) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐸)
116, 7, 10syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐸)
1211ad2antrr 764 . . . . 5 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑧 = 𝑋) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐸)
13 elmapi 8047 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸)
14 df-ne 2933 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑋 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑋)
1514biimpri 218 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 = 𝑋𝑧𝑋)
1615anim2i 594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝑧𝑆𝑧𝑋))
17 eldifsn 4462 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↔ (𝑧𝑆𝑧𝑋))
1816, 17sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
19 ffvelrn 6521 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸)
2018, 19sylan2 492 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸)
2120ex 449 . . . . . . . . 9 (𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 → ((𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸))
2213, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸))
23223ad2ant3 1130 . . . . . . 7 ((𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸))
2423adantl 473 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸))
2524impl 651 . . . . 5 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸)
2612, 25ifclda 4264 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧𝑆) → if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧)) ∈ 𝐸)
27 eqid 2760 . . . 4 (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧))) = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧)))
2826, 27fmptd 6549 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧))):𝑆𝐸)
29 simpr 479 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
30 fvex 6363 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
318, 30eqeltri 2835 . . . . . 6 𝐸 ∈ V
3229, 31jctil 561 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
3332adantr 472 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
34 elmapg 8038 . . . 4 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧))) ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ↔ (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧))):𝑆𝐸))
3533, 34syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧))) ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ↔ (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧))):𝑆𝐸))
3628, 35mpbird 247 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧))) ∈ (𝐸𝑚 𝑆))
371, 36syl5eqel 2843 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712  ifcif 4230  𝒫 cpw 4302  {csn 4321   ↦ cmpt 4881  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ↑𝑚 cmap 8025  Basecbs 16079  Scalarcsca 16166  0gc0g 16322  Grpcgrp 17643  invgcminusg 17644  LModclmod 19085 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-map 8027  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-ring 18769  df-lmod 19087 This theorem is referenced by:  lincext2  42772  lincext3  42773  lindslinindsimp1  42774  islindeps2  42800
 Copyright terms: Public domain W3C validator