Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linc0scn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem linc0scn0 42691
Description: If a set contains the zero element of a module, there is a linear combination being 0 where not all scalars are 0. (Contributed by AV, 13-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linc0scn0.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
linc0scn0.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
linc0scn0.0 0 = (0g𝑆)
linc0scn0.1 1 = (1r𝑆)
linc0scn0.z 𝑍 = (0g𝑀)
linc0scn0.f 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑍, 1 , 0 ))
Assertion
Ref Expression
linc0scn0 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥,𝑍   𝑥, 0   𝑥, 1
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem linc0scn0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑀 ∈ LMod)
2 linc0scn0.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
32lmodring 19044 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
42eqcomi 2757 . . . . . . . . . . 11 (Scalar‘𝑀) = 𝑆
54fveq2i 6343 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘𝑆)
6 linc0scn0.1 . . . . . . . . . 10 1 = (1r𝑆)
75, 6ringidcl 18739 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
8 linc0scn0.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑆)
95, 8ring0cl 18740 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
107, 9jca 555 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Ring → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
113, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ LMod → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
1211ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝑉) → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
13 ifcl 4262 . . . . . 6 (( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))) → if(𝑥 = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝑉) → if(𝑥 = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
15 linc0scn0.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑍, 1 , 0 ))
1614, 15fmptd 6536 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
17 fvex 6350 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
19 elmapg 8024 . . . . 5 (((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
2018, 19sylan 489 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
2116, 20mpbird 247 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
22 linc0scn0.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
2322pweqi 4294 . . . . . 6 𝒫 𝐵 = 𝒫 (Base‘𝑀)
2423eleq2i 2819 . . . . 5 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
2524biimpi 206 . . . 4 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
2625adantl 473 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
27 lincval 42677 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
281, 21, 26, 27syl3anc 1463 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
29 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
30 fvex 6350 . . . . . . . . 9 (1r𝑆) ∈ V
316, 30eqeltri 2823 . . . . . . . 8 1 ∈ V
32 fvex 6350 . . . . . . . . 9 (0g𝑆) ∈ V
338, 32eqeltri 2823 . . . . . . . 8 0 ∈ V
3431, 33ifex 4288 . . . . . . 7 if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ V
35 eqeq1 2752 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 = 𝑍𝑣 = 𝑍))
3635ifbid 4240 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑣 → if(𝑥 = 𝑍, 1 , 0 ) = if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ))
3736, 15fvmptg 6430 . . . . . . 7 ((𝑣𝑉 ∧ if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ V) → (𝐹𝑣) = if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ))
3829, 34, 37sylancl 697 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐹𝑣) = if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ))
3938oveq1d 6816 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = (if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 )( ·𝑠𝑀)𝑣))
40 ovif 6890 . . . . . 6 (if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 )( ·𝑠𝑀)𝑣) = if(𝑣 = 𝑍, ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣), ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣))
4140a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → (if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 )( ·𝑠𝑀)𝑣) = if(𝑣 = 𝑍, ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣), ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣)))
42 oveq2 6809 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑍 → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑍))
4342adantl 473 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑍))
44 eqid 2748 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
452, 44, 6lmod1cl 19063 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ LMod → 1 ∈ (Base‘𝑆))
4645ancli 575 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod → (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝑆)))
4746adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝑆)))
4847ad2antrr 764 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝑆)))
49 eqid 2748 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
50 linc0scn0.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (0g𝑀)
512, 49, 44, 50lmodvs0 19070 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝑆)) → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑍) = 𝑍)
5248, 51syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑍) = 𝑍)
5343, 52eqtrd 2782 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
541adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
55 elelpwi 4303 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣𝑉𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑣𝐵)
5655expcom 450 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
5756adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
5857imp 444 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝐵)
5922, 2, 49, 8, 50lmod0vs 19069 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣𝐵) → ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
6054, 58, 59syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
6160adantr 472 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) ∧ ¬ 𝑣 = 𝑍) → ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
6253, 61ifeqda 4253 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → if(𝑣 = 𝑍, ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣), ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣)) = 𝑍)
6339, 41, 623eqtrd 2786 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
6463mpteq2dva 4884 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) = (𝑣𝑉𝑍))
6564oveq2d 6817 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉𝑍)))
66 lmodgrp 19043 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
67 grpmnd 17601 . . . 4 (𝑀 ∈ Grp → 𝑀 ∈ Mnd)
6866, 67syl 17 . . 3 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Mnd)
6950gsumz 17546 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉𝑍)) = 𝑍)
7068, 69sylan 489 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉𝑍)) = 𝑍)
7128, 65, 703eqtrd 2786 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  Vcvv 3328  ifcif 4218  𝒫 cpw 4290  cmpt 4869  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801  𝑚 cmap 8011  Basecbs 16030  Scalarcsca 16117   ·𝑠 cvsca 16118  0gc0g 16273   Σg cgsu 16274  Mndcmnd 17466  Grpcgrp 17594  1rcur 18672  Ringcrg 18718  LModclmod 19036   linC clinc 42672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-seq 12967  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-plusg 16127  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-grp 17597  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-lmod 19038  df-linc 42674
This theorem is referenced by:  el0ldep  42734
  Copyright terms: Public domain W3C validator