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Theorem limsupubuzlem 40456
 Description: If the limsup is not +∞, then the function is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupubuzlem.j 𝑗𝜑
limsupubuzlem.e 𝑗𝑋
limsupubuzlem.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupubuzlem.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupubuzlem.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
limsupubuzlem.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
limsupubuzlem.k (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
limsupubuzlem.b (𝜑 → ∀𝑗𝑍 (𝐾𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌))
limsupubuzlem.n 𝑁 = if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾))
limsupubuzlem.w 𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < )
limsupubuzlem.x 𝑋 = if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊)
Assertion
Ref Expression
limsupubuzlem (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍   𝑥,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑗)   𝐾(𝑥,𝑗)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑗)   𝑋(𝑗)   𝑌(𝑥,𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem limsupubuzlem
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupubuzlem.x . . 3 𝑋 = if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊)
2 limsupubuzlem.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
3 limsupubuzlem.w . . . . . 6 𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < )
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < ))
5 limsupubuzlem.j . . . . . 6 𝑗𝜑
6 ltso 10319 . . . . . . 7 < Or ℝ
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → < Or ℝ)
8 fzfid 12979 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
9 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
10 limsupubuzlem.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 limsupubuzlem.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾))
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 = if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
13 limsupubuzlem.k . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
14 ceilcl 12850 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℝ → (⌈‘𝐾) ∈ ℤ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ∈ ℤ)
1610, 15ifcld 4268 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)) ∈ ℤ)
1712, 16eqeltrd 2849 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1815zred 11683 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ∈ ℝ)
1910zred 11683 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
20 max2 12222 . . . . . . . . . . 11 (((⌈‘𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
2118, 19, 20syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ≤ if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
2212eqcomd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)) = 𝑁)
2321, 22breqtrd 4810 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀𝑁)
249, 10, 17, 23eluzd 40145 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
25 eluzfz2 12555 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
27 ne0i 4067 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
2826, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
29 limsupubuzlem.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
3029adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
3110adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
32 elfzelz 12548 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
3332adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
34 elfzle1 12550 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝑗)
3534adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝑗)
369, 31, 33, 35eluzd 40145 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
37 limsupubuzlem.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
3836, 37syl6eleqr 2860 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗𝑍)
3930, 38ffvelrnd 6503 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
405, 7, 8, 28, 39fisupclrnmpt 40132 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
414, 40eqeltrd 2849 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
422, 41ifcld 4268 . . 3 (𝜑 → if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
431, 42syl5eqel 2853 . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4429ffvelrnda 6502 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
4544adantr 466 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
4641ad2antrr 697 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑊 ∈ ℝ)
4743ad2antrr 697 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋 ∈ ℝ)
48 simpll 742 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝜑)
4910ad2antrr 697 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
5017ad2antrr 697 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
5137eluzelz2 40137 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
5251ad2antlr 698 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
5337eleq2i 2841 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
5453biimpi 206 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
55 eluzle 11900 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑗)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑀𝑗)
5756ad2antlr 698 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑀𝑗)
58 simpr 471 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
5949, 50, 52, 57, 58elfzd 40146 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
605, 8, 39fimaxre4 40135 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑗) ≤ 𝑏)
615, 39, 60suprubrnmpt 39980 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ≤ sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < ))
6261, 3syl6breqr 4826 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑊)
6348, 59, 62syl2anc 565 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑊)
64 max1 12220 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑊 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
6541, 2, 64syl2anc 565 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
6665, 1syl6breqr 4826 . . . . . . 7 (𝜑𝑊𝑋)
6766ad2antrr 697 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑊𝑋)
6845, 46, 47, 63, 67letrd 10395 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
6913ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
70 uzssre 40130 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
7137, 70eqsstri 3782 . . . . . . . . 9 𝑍 ⊆ ℝ
7271sseli 3746 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℝ)
7372ad2antlr 698 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ)
7470, 24sseldi 3748 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
7574ad2antrr 697 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
76 ceilge 12852 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℝ → 𝐾 ≤ (⌈‘𝐾))
7713, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ≤ (⌈‘𝐾))
78 max1 12220 . . . . . . . . . . . 12 (((⌈‘𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (⌈‘𝐾) ≤ if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
7918, 19, 78syl2anc 565 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ≤ if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
8079, 22breqtrd 4810 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ≤ 𝑁)
8113, 18, 74, 77, 80letrd 10395 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾𝑁)
8281ad2antrr 697 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝐾𝑁)
83 simpr 471 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → ¬ 𝑗𝑁)
8475, 73ltnled 10385 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → (𝑁 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗𝑁))
8583, 84mpbird 247 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝑁 < 𝑗)
8669, 75, 73, 82, 85lelttrd 10396 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝐾 < 𝑗)
8769, 73, 86ltled 10386 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝐾𝑗)
8844adantr 466 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
892ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑌 ∈ ℝ)
9043ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑋 ∈ ℝ)
91 simpr 471 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝐾𝑗)
92 limsupubuzlem.b . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑗𝑍 (𝐾𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌))
9392r19.21bi 3080 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐾𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌))
9493adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → (𝐾𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌))
9591, 94mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌)
96 max2 12222 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
9741, 2, 96syl2anc 565 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
9897, 1syl6breqr 4826 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
9998ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑌𝑋)
10088, 89, 90, 95, 99letrd 10395 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
10187, 100syldan 571 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
10268, 101pm2.61dan 796 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
103102ex 397 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝑍 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋))
1045, 103ralrimi 3105 . 2 (𝜑 → ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
105 nfv 1994 . . 3 𝑥𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑋
106 nfcv 2912 . . . . 5 𝑗𝑥
107 limsupubuzlem.e . . . . 5 𝑗𝑋
108106, 107nfeq 2924 . . . 4 𝑗 𝑥 = 𝑋
109 breq2 4788 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑗) ≤ 𝑋))
110108, 109ralbid 3131 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑋))
111105, 110rspce 3453 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑋) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
11243, 104, 111syl2anc 565 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630  Ⅎwnf 1855   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2899   ≠ wne 2942  ∀wral 3060  ∃wrex 3061  ∅c0 4061  ifcif 4223   class class class wbr 4784   ↦ cmpt 4861   Or wor 5169  ran crn 5250  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  supcsup 8501  ℝcr 10136   < clt 10275   ≤ cle 10276  ℤcz 11578  ℤ≥cuz 11887  ...cfz 12532  ⌈cceil 12799 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fl 12800  df-ceil 12801 This theorem is referenced by:  limsupubuz  40457
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