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Theorem limsupubuzlem 40456
Description: If the limsup is not +∞, then the function is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupubuzlem.j 𝑗𝜑
limsupubuzlem.e 𝑗𝑋
limsupubuzlem.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupubuzlem.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupubuzlem.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
limsupubuzlem.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
limsupubuzlem.k (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
limsupubuzlem.b (𝜑 → ∀𝑗𝑍 (𝐾𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌))
limsupubuzlem.n 𝑁 = if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾))
limsupubuzlem.w 𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < )
limsupubuzlem.x 𝑋 = if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊)
Assertion
Ref Expression
limsupubuzlem (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍   𝑥,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑗)   𝐾(𝑥,𝑗)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑗)   𝑋(𝑗)   𝑌(𝑥,𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem limsupubuzlem
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupubuzlem.x . . 3 𝑋 = if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊)
2 limsupubuzlem.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
3 limsupubuzlem.w . . . . . 6 𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < )
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < ))
5 limsupubuzlem.j . . . . . 6 𝑗𝜑
6 ltso 10319 . . . . . . 7 < Or ℝ
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → < Or ℝ)
8 fzfid 12979 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
9 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
10 limsupubuzlem.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 limsupubuzlem.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾))
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 = if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
13 limsupubuzlem.k . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
14 ceilcl 12850 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℝ → (⌈‘𝐾) ∈ ℤ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ∈ ℤ)
1610, 15ifcld 4268 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)) ∈ ℤ)
1712, 16eqeltrd 2849 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1815zred 11683 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ∈ ℝ)
1910zred 11683 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
20 max2 12222 . . . . . . . . . . 11 (((⌈‘𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
2118, 19, 20syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ≤ if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
2212eqcomd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)) = 𝑁)
2321, 22breqtrd 4810 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀𝑁)
249, 10, 17, 23eluzd 40145 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
25 eluzfz2 12555 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
27 ne0i 4067 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
2826, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
29 limsupubuzlem.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
3029adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
3110adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
32 elfzelz 12548 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
3332adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
34 elfzle1 12550 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝑗)
3534adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝑗)
369, 31, 33, 35eluzd 40145 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
37 limsupubuzlem.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
3836, 37syl6eleqr 2860 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗𝑍)
3930, 38ffvelrnd 6503 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
405, 7, 8, 28, 39fisupclrnmpt 40132 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
414, 40eqeltrd 2849 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
422, 41ifcld 4268 . . 3 (𝜑 → if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
431, 42syl5eqel 2853 . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4429ffvelrnda 6502 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
4544adantr 466 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
4641ad2antrr 697 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑊 ∈ ℝ)
4743ad2antrr 697 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋 ∈ ℝ)
48 simpll 742 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝜑)
4910ad2antrr 697 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
5017ad2antrr 697 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
5137eluzelz2 40137 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
5251ad2antlr 698 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
5337eleq2i 2841 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
5453biimpi 206 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
55 eluzle 11900 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑗)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑀𝑗)
5756ad2antlr 698 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑀𝑗)
58 simpr 471 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
5949, 50, 52, 57, 58elfzd 40146 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
605, 8, 39fimaxre4 40135 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑗) ≤ 𝑏)
615, 39, 60suprubrnmpt 39980 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ≤ sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐹𝑗)), ℝ, < ))
6261, 3syl6breqr 4826 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑊)
6348, 59, 62syl2anc 565 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑊)
64 max1 12220 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑊 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
6541, 2, 64syl2anc 565 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
6665, 1syl6breqr 4826 . . . . . . 7 (𝜑𝑊𝑋)
6766ad2antrr 697 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑊𝑋)
6845, 46, 47, 63, 67letrd 10395 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗𝑁) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
6913ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
70 uzssre 40130 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
7137, 70eqsstri 3782 . . . . . . . . 9 𝑍 ⊆ ℝ
7271sseli 3746 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℝ)
7372ad2antlr 698 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ)
7470, 24sseldi 3748 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
7574ad2antrr 697 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
76 ceilge 12852 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℝ → 𝐾 ≤ (⌈‘𝐾))
7713, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ≤ (⌈‘𝐾))
78 max1 12220 . . . . . . . . . . . 12 (((⌈‘𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (⌈‘𝐾) ≤ if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
7918, 19, 78syl2anc 565 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ≤ if((⌈‘𝐾) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝐾)))
8079, 22breqtrd 4810 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌈‘𝐾) ≤ 𝑁)
8113, 18, 74, 77, 80letrd 10395 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾𝑁)
8281ad2antrr 697 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝐾𝑁)
83 simpr 471 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → ¬ 𝑗𝑁)
8475, 73ltnled 10385 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → (𝑁 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗𝑁))
8583, 84mpbird 247 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝑁 < 𝑗)
8669, 75, 73, 82, 85lelttrd 10396 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝐾 < 𝑗)
8769, 73, 86ltled 10386 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → 𝐾𝑗)
8844adantr 466 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
892ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑌 ∈ ℝ)
9043ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑋 ∈ ℝ)
91 simpr 471 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝐾𝑗)
92 limsupubuzlem.b . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑗𝑍 (𝐾𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌))
9392r19.21bi 3080 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐾𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌))
9493adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → (𝐾𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌))
9591, 94mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑌)
96 max2 12222 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
9741, 2, 96syl2anc 565 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
9897, 1syl6breqr 4826 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
9998ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑌𝑋)
10088, 89, 90, 95, 99letrd 10395 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
10187, 100syldan 571 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝑗𝑁) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
10268, 101pm2.61dan 796 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
103102ex 397 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝑍 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑋))
1045, 103ralrimi 3105 . 2 (𝜑 → ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑋)
105 nfv 1994 . . 3 𝑥𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑋
106 nfcv 2912 . . . . 5 𝑗𝑥
107 limsupubuzlem.e . . . . 5 𝑗𝑋
108106, 107nfeq 2924 . . . 4 𝑗 𝑥 = 𝑋
109 breq2 4788 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑗) ≤ 𝑋))
110108, 109ralbid 3131 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑋))
111105, 110rspce 3453 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑋) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
11243, 104, 111syl2anc 565 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wnf 1855  wcel 2144  wnfc 2899  wne 2942  wral 3060  wrex 3061  c0 4061  ifcif 4223   class class class wbr 4784  cmpt 4861   Or wor 5169  ran crn 5250  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  supcsup 8501  cr 10136   < clt 10275  cle 10276  cz 11578  cuz 11887  ...cfz 12532  cceil 12799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fl 12800  df-ceil 12801
This theorem is referenced by:  limsupubuz  40457
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