Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupub 40356
 Description: If the limsup is not +∞, then the function is eventually bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupub.j 𝑗𝜑
limsupub.e 𝑗𝐹
limsupub.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupub.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupub.n (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
Assertion
Ref Expression
limsupub (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupub
StepHypRef Expression
1 limsupub.e . . . . 5 𝑗𝐹
2 limsupub.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
32adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4 limsupub.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
54adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
6 limsupub.j . . . . . . . . . 10 𝑗𝜑
7 nfv 1956 . . . . . . . . . 10 𝑗 𝑥 ∈ ℝ
86, 7nfan 1941 . . . . . . . . 9 𝑗(𝜑𝑥 ∈ ℝ)
9 simprl 811 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → 𝑘𝑗)
10 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 rexr 10198 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
134ffvelrnda 6474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
1413ad4ant13 1183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
15 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) → 𝑥 < (𝐹𝑗))
1612, 14, 15xrltled 39902 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
1716adantrl 754 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
189, 17jca 555 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
1918ex 449 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) → (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
2019ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑗𝐴 → ((𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) → (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))))
218, 20reximdai 3114 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) → ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
2221ralimdv 3065 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
2322ralimdva 3064 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
2423imp 444 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
251, 3, 5, 24limsuppnfd 40354 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → (lim sup‘𝐹) = +∞)
26 limsupub.n . . . . . 6 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
2726neneqd 2901 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (lim sup‘𝐹) = +∞)
2827adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → ¬ (lim sup‘𝐹) = +∞)
2925, 28pm2.65da 601 . . 3 (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
30 imnan 437 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ¬ (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
3130ralbii 3082 . . . . . . . 8 (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ∀𝑗𝐴 ¬ (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
32 ralnex 3094 . . . . . . . 8 (∀𝑗𝐴 ¬ (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
3331, 32bitri 264 . . . . . . 7 (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
3433rexbii 3143 . . . . . 6 (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
35 rexnal 3097 . . . . . 6 (∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
3634, 35bitri 264 . . . . 5 (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
3736rexbii 3143 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
38 rexnal 3097 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
3937, 38bitri 264 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
4029, 39sylibr 224 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)))
41 nfv 1956 . . . . . 6 𝑗 𝑘 ∈ ℝ
428, 41nfan 1941 . . . . 5 𝑗((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ)
4313ad4ant14 1185 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
44 simpllr 817 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
4544rexrd 10202 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4643, 45xrlenltd 10217 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)))
4746imbi2d 329 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗))))
4842, 47ralbida 3084 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗))))
4948rexbidva 3151 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗))))
5049rexbidva 3151 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗))))
5140, 50mpbird 247 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1596  Ⅎwnf 1821   ∈ wcel 2103  Ⅎwnfc 2853   ≠ wne 2896  ∀wral 3014  ∃wrex 3015   ⊆ wss 3680   class class class wbr 4760  ⟶wf 5997  ‘cfv 6001  ℝcr 10048  +∞cpnf 10184  ℝ*cxr 10186   < clt 10187   ≤ cle 10188  lim supclsp 14321 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-ico 12295  df-limsup 14322 This theorem is referenced by:  limsupubuz  40365
 Copyright terms: Public domain W3C validator