Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupresico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupresico 40444
Description: The superior limit doesn't change when a function is restricted to the upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupresico.1 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
limsupresico.2 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
limsupresico.3 (𝜑𝐹𝑉)
Assertion
Ref Expression
limsupresico (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝑍)) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupresico
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupresico.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
21rexrd 10290 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
32ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 10293 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
6 ressxr 10284 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
74a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
8 icossre 12458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
91, 7, 8syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
109adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
11 limsupresico.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
1211eleq2i 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
1312biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
1413adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
1510, 14sseldd 3751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ)
1615adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ)
17 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
18 elicore 12430 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
1916, 17, 18syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
206, 19sseldi 3748 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
211ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
222adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑀 ∈ ℝ*)
234a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
2422, 23, 14icogelbd 40297 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑀𝑘)
2524adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀𝑘)
266, 16sseldi 3748 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ*)
2726, 5, 17icogelbd 40297 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘𝑦)
2821, 16, 19, 25, 27letrd 10395 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀𝑦)
2919ltpnfd 12159 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
303, 5, 20, 28, 29elicod 12428 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑀[,)+∞))
3130, 11syl6eleqr 2860 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦𝑍)
3231ssd 39767 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘[,)+∞) ⊆ 𝑍)
33 resima2 5573 . . . . . . . . 9 ((𝑘[,)+∞) ⊆ 𝑍 → ((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
3534ineq1d 3962 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
3635supeq1d 8507 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → sup((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3736mpteq2dva 4876 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ sup((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘𝑍 ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
3837rneqd 5491 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑘𝑍 ↦ sup((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘𝑍 ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
3911, 9syl5eqss 3796 . . . . 5 (𝜑𝑍 ⊆ ℝ)
4039mptima2 39969 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ran (𝑘𝑍 ↦ sup((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
4139mptima2 39969 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ran (𝑘𝑍 ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
4238, 40, 413eqtr4d 2814 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍))
4342infeq1d 8538 . 2 (𝜑 → inf(((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ) = inf(((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
44 eqid 2770 . . 3 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
45 limsupresico.3 . . . 4 (𝜑𝐹𝑉)
4645resexd 39836 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑍) ∈ V)
4711supeq1i 8508 . . . . 5 sup(𝑍, ℝ*, < ) = sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < )
4847a1i 11 . . . 4 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ))
491renepnfd 10291 . . . . 5 (𝜑𝑀 ≠ +∞)
50 icopnfsup 12871 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑀 ≠ +∞) → sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
512, 49, 50syl2anc 565 . . . 4 (𝜑 → sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
5248, 51eqtrd 2804 . . 3 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
5344, 46, 39, 52limsupval2 14418 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝑍)) = inf(((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
54 eqid 2770 . . 3 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5554, 45, 39, 52limsupval2 14418 . 2 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
5643, 53, 553eqtr4d 2814 1 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝑍)) = (lim sup‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  Vcvv 3349  cin 3720  wss 3721   class class class wbr 4784  cmpt 4861  ran crn 5250  cres 5251  cima 5252  cfv 6031  (class class class)co 6792  supcsup 8501  infcinf 8502  cr 10136  +∞cpnf 10272  *cxr 10274   < clt 10275  cle 10276  [,)cico 12381  lim supclsp 14408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-ico 12385  df-limsup 14409
This theorem is referenced by:  limsupresuz  40447  limsupresicompt  40500
  Copyright terms: Public domain W3C validator