Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupre3lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupre3lem 40467
 Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is smaller or equal than the function, at some point, in any upper part of the reals; 2. there is a real number that is eventually larger or equal than the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupre3lem.1 𝑗𝐹
limsupre3lem.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupre3lem.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupre3lem (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupre3lem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupre3lem.1 . . 3 𝑗𝐹
2 limsupre3lem.2 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 limsupre3lem.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
41, 2, 3limsupre2 40460 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦))))
5 simp2 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗))) → 𝑦 ∈ ℝ)
6 nfv 1992 . . . . . . . . . 10 𝑗(𝜑𝑦 ∈ ℝ)
7 simp3l 1244 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗))) → 𝑘𝑗)
8 simp1r 1241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴𝑦 < (𝐹𝑗)) → 𝑦 ∈ ℝ)
98rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴𝑦 < (𝐹𝑗)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
103ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
1110adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
12113adant3 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴𝑦 < (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
13 simp3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴𝑦 < (𝐹𝑗)) → 𝑦 < (𝐹𝑗))
149, 12, 13xrltled 39985 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴𝑦 < (𝐹𝑗)) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑗))
15143adant3l 1194 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗))) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑗))
167, 15jca 555 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗))) → (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗)))
17163exp 1113 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑗𝐴 → ((𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)) → (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗)))))
186, 17reximdai 3150 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)) → ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗))))
1918ralimdv 3101 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗))))
20193impia 1110 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗))) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗)))
21 breq1 4807 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (𝐹𝑗) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹𝑗)))
2221anbi2d 742 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗))))
2322rexbidv 3190 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗))))
2423ralbidv 3124 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗))))
2524rspcev 3449 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
265, 20, 25syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
27263exp 1113 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))))
2827rexlimdv 3168 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
29 peano2rem 10540 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
3029ad2antlr 765 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
31 nfv 1992 . . . . . . . . . 10 𝑗(𝜑𝑥 ∈ ℝ)
32 simp3l 1244 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → 𝑘𝑗)
33 simp1r 1241 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → 𝑥 ∈ ℝ)
3429rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ*)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ*)
3633rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3710adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
38373adant3 1127 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
3933ltm1d 11148 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (𝑥 − 1) < 𝑥)
40 simp3r 1245 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
4135, 36, 38, 39, 40xrltletrd 12185 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (𝑥 − 1) < (𝐹𝑗))
4232, 41jca 555 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (𝑘𝑗 ∧ (𝑥 − 1) < (𝐹𝑗)))
43423exp 1113 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑗𝐴 → ((𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝑘𝑗 ∧ (𝑥 − 1) < (𝐹𝑗)))))
4431, 43reximdai 3150 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ (𝑥 − 1) < (𝐹𝑗))))
4544ralimdv 3101 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ (𝑥 − 1) < (𝐹𝑗))))
4645imp 444 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ (𝑥 − 1) < (𝐹𝑗)))
47 breq1 4807 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 < (𝐹𝑗) ↔ (𝑥 − 1) < (𝐹𝑗)))
4847anbi2d 742 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑥 − 1) → ((𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)) ↔ (𝑘𝑗 ∧ (𝑥 − 1) < (𝐹𝑗))))
4948rexbidv 3190 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ (𝑥 − 1) < (𝐹𝑗))))
5049ralbidv 3124 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ (𝑥 − 1) < (𝐹𝑗))))
5150rspcev 3449 . . . . . . 7 (((𝑥 − 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ (𝑥 − 1) < (𝐹𝑗))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)))
5230, 46, 51syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)))
5352ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗))))
5453rexlimdva 3169 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗))))
5528, 54impbid 202 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
56 simplr 809 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
5711adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) < 𝑦) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
58 rexr 10277 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
5958ad3antlr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
60 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) < 𝑦) → (𝐹𝑗) < 𝑦)
6157, 59, 60xrltled 39985 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) < 𝑦) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑦)
6261ex 449 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝐹𝑗) < 𝑦 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑦))
6362imim2d 57 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑦)))
6463ralimdva 3100 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦) → ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑦)))
6564reximdv 3154 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑦)))
6665imp 444 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑦))
67 breq2 4808 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑗) ≤ 𝑦))
6867imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑦)))
6968ralbidv 3124 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑦)))
7069rexbidv 3190 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑦)))
7170rspcev 3449 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
7256, 66, 71syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
7372ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
7473rexlimdva 3169 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
75 peano2re 10401 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
7675ad2antlr 765 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
7737adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
78 rexr 10277 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
7978ad3antlr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8075rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
8180ad3antlr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
82 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
83 ltp1 11053 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
8483ad3antlr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝑥 < (𝑥 + 1))
8577, 79, 81, 82, 84xrlelttrd 12184 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹𝑗) < (𝑥 + 1))
8685ex 449 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 → (𝐹𝑗) < (𝑥 + 1)))
8786imim2d 57 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < (𝑥 + 1))))
8887ralimdva 3100 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < (𝑥 + 1))))
8988reximdv 3154 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < (𝑥 + 1))))
9089imp 444 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < (𝑥 + 1)))
91 breq2 4808 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑥 + 1) → ((𝐹𝑗) < 𝑦 ↔ (𝐹𝑗) < (𝑥 + 1)))
9291imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑥 + 1) → ((𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦) ↔ (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < (𝑥 + 1))))
9392ralbidv 3124 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥 + 1) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦) ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < (𝑥 + 1))))
9493rexbidv 3190 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑥 + 1) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < (𝑥 + 1))))
9594rspcev 3449 . . . . . . 7 (((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < (𝑥 + 1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦))
9676, 90, 95syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦))
9796ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦)))
9897rexlimdva 3169 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦)))
9974, 98impbid 202 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
10055, 99anbi12d 749 . 2 (𝜑 → ((∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))))
1014, 100bitrd 268 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Ⅎwnfc 2889  ∀wral 3050  ∃wrex 3051   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℝcr 10127  1c1 10129   + caddc 10131  ℝ*cxr 10265   < clt 10266   ≤ cle 10267   − cmin 10458  lim supclsp 14400 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-ico 12374  df-limsup 14401 This theorem is referenced by:  limsupre3  40468
 Copyright terms: Public domain W3C validator