Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupre2mpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupre2mpt 40477
 Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is smaller than the function, at some point, in any upper part of the reals; 2. there is a real number that is eventually larger than the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupre2mpt.p 𝑥𝜑
limsupre2mpt.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupre2mpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupre2mpt (𝜑 → ((lim sup‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦 < 𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵 < 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝐵,𝑘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem limsupre2mpt
Dummy variables 𝑗 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4882 . . 3 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
2 limsupre2mpt.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 limsupre2mpt.p . . . 4 𝑥𝜑
4 limsupre2mpt.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
53, 4fmptd2f 39957 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ*)
61, 2, 5limsupre2 40472 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑤))))
7 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
98, 4fvmpt2d 6437 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
109breq2d 4799 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑤 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ 𝑤 < 𝐵))
1110anbi2d 614 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑗𝑥𝑤 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ (𝑗𝑥𝑤 < 𝐵)))
123, 11rexbida 3195 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < 𝐵)))
1312ralbidv 3135 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < 𝐵)))
1413rexbidv 3200 . . 3 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < 𝐵)))
159breq1d 4797 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑤𝐵 < 𝑤))
1615imbi2d 329 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑤) ↔ (𝑗𝑥𝐵 < 𝑤)))
173, 16ralbida 3131 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑤) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑤)))
1817rexbidv 3200 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑤) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑤)))
1918rexbidv 3200 . . 3 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑤) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑤)))
2014, 19anbi12d 616 . 2 (𝜑 → ((∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑤)) ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < 𝐵) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑤))))
21 breq1 4790 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 < 𝐵𝑦 < 𝐵))
2221anbi2d 614 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑗𝑥𝑤 < 𝐵) ↔ (𝑗𝑥𝑦 < 𝐵)))
2322rexbidv 3200 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑦 < 𝐵)))
2423ralbidv 3135 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < 𝐵) ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑦 < 𝐵)))
25 breq1 4790 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑥𝑘𝑥))
2625anbi1d 615 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗𝑥𝑦 < 𝐵) ↔ (𝑘𝑥𝑦 < 𝐵)))
2726rexbidv 3200 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑦 < 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦 < 𝐵)))
2827cbvralv 3320 . . . . . . 7 (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑦 < 𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦 < 𝐵))
2928a1i 11 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑦 < 𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦 < 𝐵)))
3024, 29bitrd 268 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < 𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦 < 𝐵)))
3130cbvrexv 3321 . . . 4 (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦 < 𝐵))
32 breq2 4791 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → (𝐵 < 𝑤𝐵 < 𝑦))
3332imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑗𝑥𝐵 < 𝑤) ↔ (𝑗𝑥𝐵 < 𝑦)))
3433ralbidv 3135 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑤) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑦)))
3534rexbidv 3200 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑤) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑦)))
3625imbi1d 330 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗𝑥𝐵 < 𝑦) ↔ (𝑘𝑥𝐵 < 𝑦)))
3736ralbidv 3135 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵 < 𝑦)))
3837cbvrexv 3321 . . . . . . 7 (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑦) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵 < 𝑦))
3938a1i 11 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑦) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵 < 𝑦)))
4035, 39bitrd 268 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑤) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵 < 𝑦)))
4140cbvrexv 3321 . . . 4 (∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑤) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵 < 𝑦))
4231, 41anbi12i 612 . . 3 ((∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < 𝐵) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑤)) ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦 < 𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵 < 𝑦)))
4342a1i 11 . 2 (𝜑 → ((∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝑤 < 𝐵) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥𝐵 < 𝑤)) ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦 < 𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵 < 𝑦))))
446, 20, 433bitrd 294 1 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝑦 < 𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥𝐵 < 𝑦))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631  Ⅎwnf 1856   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3723   class class class wbr 4787   ↦ cmpt 4864  ‘cfv 6030  ℝcr 10141  ℝ*cxr 10279   < clt 10280   ≤ cle 10281  lim supclsp 14409 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-ico 12386  df-limsup 14410 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator