Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsuppnfdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsuppnfdlem 40451
Description: If the restriction of a function to every upper interval is unbounded above, its lim sup is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsuppnfdlem.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsuppnfdlem.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsuppnfdlem.u (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
limsuppnfdlem.g 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
limsuppnfdlem (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsuppnfdlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsuppnfdlem.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2 reex 10229 . . . . . 6 ℝ ∈ V
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ V)
4 limsuppnfdlem.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
53, 4ssexd 4939 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
61, 5fexd 39817 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
7 limsuppnfdlem.g . . . 4 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
87limsupval 14413 . . 3 (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
96, 8syl 17 . 2 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
107a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
11 limsuppnfdlem.u . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
1211r19.21bi 3081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
1312r19.21bi 3081 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
1413an32s 631 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
151ffund 6189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → Fun 𝐹)
1615adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝐴) → Fun 𝐹)
17 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
181fdmd 39938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
1918adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝐴) → dom 𝐹 = 𝐴)
2017, 19eleqtrrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ dom 𝐹)
2116, 20jca 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝐴) → (Fun 𝐹𝑗 ∈ dom 𝐹))
2221ad4ant13 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (Fun 𝐹𝑗 ∈ dom 𝐹))
23 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
2423rexrd 10291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ*)
25 pnfxr 10294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +∞ ∈ ℝ*
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → +∞ ∈ ℝ*)
27 ressxr 10285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ℝ ⊆ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
294, 28sstrd 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
3029adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
3130, 17sseldd 3753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ*)
3231ad4ant13 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ*)
33 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘𝑗)
344sselda 3752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ)
35 ltpnf 12159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 < +∞)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 < +∞)
3736ad4ant13 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 < +∞)
3824, 26, 32, 33, 37elicod 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞))
39 funfvima 6635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun 𝐹𝑗 ∈ dom 𝐹) → (𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞) → (𝐹𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
4022, 38, 39sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
411ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
4241ad4ant13 1206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
4340, 42elind 3949 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
4443adantllr 698 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
4544adantrr 696 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
46 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
47 nfv 1995 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)
48 breq2 4790 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐹𝑗) → (𝑥𝑦𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
4947, 48rspce 3455 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝑦)
5045, 46, 49syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝑦)
5150ex 397 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝑦))
5251rexlimdva 3179 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝑦))
5314, 52mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝑦)
5453ralrimiva 3115 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝑦)
55 inss2 3982 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
57 supxrunb3 40139 . . . . . . . . 9 (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝑦 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞))
5856, 57syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝑦 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞))
5954, 58mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞)
6059mpteq2dva 4878 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
6110, 60eqtrd 2805 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
6261rneqd 5491 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐺 = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
63 eqid 2771 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞)
6425a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
65 ren0 40142 . . . . . 6 ℝ ≠ ∅
6665a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
6763, 64, 66rnmptc 39873 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞) = {+∞})
6862, 67eqtrd 2805 . . 3 (𝜑 → ran 𝐺 = {+∞})
6968infeq1d 8539 . 2 (𝜑 → inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf({+∞}, ℝ*, < ))
70 xrltso 12179 . . . . 5 < Or ℝ*
7170, 25pm3.2i 447 . . . 4 ( < Or ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
72 infsn 8566 . . . 4 (( < Or ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
7371, 72ax-mp 5 . . 3 inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞
7473a1i 11 . 2 (𝜑 → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
759, 69, 743eqtrd 2809 1 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351  cin 3722  wss 3723  c0 4063  {csn 4316   class class class wbr 4786  cmpt 4863   Or wor 5169  dom cdm 5249  ran crn 5250  cima 5252  Fun wfun 6025  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  supcsup 8502  infcinf 8503  cr 10137  +∞cpnf 10273  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  [,)cico 12382  lim supclsp 14409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-ico 12386  df-limsup 14410
This theorem is referenced by:  limsuppnfd  40452
  Copyright terms: Public domain W3C validator