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Theorem limsupmnfuzlem 40276
Description: The superior limit of a function is -∞ if and only if every real number is the upper bound of the restriction of the function to a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupmnfuzlem.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupmnfuzlem.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupmnfuzlem.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupmnfuzlem (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem limsupmnfuzlem
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2793 . . 3 𝑗𝐹
2 limsupmnfuzlem.2 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 uzssre 39933 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
42, 3eqsstri 3668 . . . 4 𝑍 ⊆ ℝ
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ⊆ ℝ)
6 limsupmnfuzlem.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
71, 5, 6limsupmnf 40271 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
8 breq1 4688 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝑗𝑖𝑗))
98imbi1d 330 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
109ralbidv 3015 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
1110cbvrexv 3202 . . . . . . 7 (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
1211biimpi 206 . . . . . 6 (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
13 iftrue 4125 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ≤ (⌈‘𝑖) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = (⌈‘𝑖))
1413adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = (⌈‘𝑖))
15 limsupmnfuzlem.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1615ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → 𝑀 ∈ ℤ)
17 ceilcl 12683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℝ → (⌈‘𝑖) ∈ ℤ)
1817ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → (⌈‘𝑖) ∈ ℤ)
19 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖))
202, 16, 18, 19eluzd 39948 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → (⌈‘𝑖) ∈ 𝑍)
2114, 20eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
22 iffalse 4128 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = 𝑀)
2322adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) = 𝑀)
2415, 2uzidd2 39956 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀𝑍)
2524ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → 𝑀𝑍)
2623, 25eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑀 ≤ (⌈‘𝑖)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
2721, 26pm2.61dan 849 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
28273adant3 1101 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍)
29 nfv 1883 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝜑
30 nfv 1883 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 𝑖 ∈ ℝ
31 nfra1 2970 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
3229, 30, 31nf3an 1871 . . . . . . . . . . 11 𝑗(𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
33 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖 ∈ ℝ)
344, 27sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ ℝ)
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ ℝ)
36 eluzelre 11736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
38 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ∈ ℝ)
3917zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℝ → (⌈‘𝑖) ∈ ℝ)
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑖) ∈ ℝ)
41 ceilge 12685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℝ → 𝑖 ≤ (⌈‘𝑖))
4241adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ≤ (⌈‘𝑖))
434, 24sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4443adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
45 max2 12056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑖) ∈ ℝ) → (⌈‘𝑖) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
4644, 40, 45syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → (⌈‘𝑖) ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
4738, 40, 34, 42, 46letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
49 eluzle 11738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ≤ 𝑗)
5049adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ≤ 𝑗)
5133, 35, 37, 48, 50letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖𝑗)
52513adantl3 1239 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑖𝑗)
53 simpl3 1086 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
5415ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
55 eluzelz 11735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
5744adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
58 max1 12054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌈‘𝑖) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
5943, 39, 58syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
6059adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))
6157, 35, 37, 60, 50letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑀𝑗)
622, 54, 56, 61eluzd 39948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗𝑍)
63623adantl3 1239 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → 𝑗𝑍)
64 rspa 2959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝑍) → (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
6553, 63, 64syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
6652, 65mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
6766ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
6832, 67ralrimi 2986 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
69 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) → (ℤ𝑘) = (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀)))
7069raleqdv 3174 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
7170rspcev 3340 . . . . . . . . . 10 ((if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ (⌈‘𝑖), (⌈‘𝑖), 𝑀))(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
7228, 68, 71syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
73723exp 1283 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℝ → (∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
7473rexlimdv 3059 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
7574imp 444 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑖𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
7612, 75sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
7776ex 449 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
78 rexss 3702 . . . . . . . 8 (𝑍 ⊆ ℝ → (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
794, 78ax-mp 5 . . . . . . 7 (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
8079biimpi 206 . . . . . 6 (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
81 nfv 1883 . . . . . . . . . . 11 𝑗 𝑘𝑍
82 nfra1 2970 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥
8381, 82nfan 1868 . . . . . . . . . 10 𝑗(𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
84 simp1r 1106 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝑍𝑘𝑗) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
85 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑘) = (ℤ𝑘)
862eluzelz2 39940 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
87863ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑍𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
882eluzelz2 39940 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
89883ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑍𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
90 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑍𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑘𝑗)
9185, 87, 89, 90eluzd 39948 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘𝑍𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑘))
92913adant1r 1359 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝑍𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑘))
93 rspa 2959 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
9484, 92, 93syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝑍𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
95943exp 1283 . . . . . . . . . 10 ((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝑗𝑍 → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9683, 95ralrimi 2986 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
9796a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9897reximdv 3045 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9998imp 444 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
10080, 99sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
101100ex 449 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
10277, 101impbid 202 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
103102ralbidv 3015 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
1047, 103bitrd 268 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685  wf 5922  cfv 5926  cr 9973  -∞cmnf 10110  *cxr 10111  cle 10113  cz 11415  cuz 11725  cceil 12632  lim supclsp 14245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-ico 12219  df-fl 12633  df-ceil 12634  df-limsup 14246
This theorem is referenced by:  limsupmnfuz  40277
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