Theorem limsuplt2 40497

Description: The defining property of the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsuplt2.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
limsuplt2.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
limsuplt2.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsuplt2	⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem limsuplt2

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsuplt2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
2		limsuplt2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
3		limsuplt2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5	4	limsuplt 14417	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ∃𝑖 ∈ ℝ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) < 𝐴))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1475	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ∃𝑖 ∈ ℝ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) < 𝐴))
7		oveq1 6799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗[,)+∞) = (𝑖[,)+∞))
8	7	imaeq2d 5607	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑖[,)+∞)))
9	8	ineq1d 3962	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*))
10	9	supeq1d 8507	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
11		simpr 471	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ∈ ℝ)
12		xrltso 12178	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ*
13	12	supex 8524	. . . . . 6 ⊢ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V)
15	4, 10, 11, 14	fvmptd3 39959	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) = sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
16	15	breq1d 4794	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) < 𝐴 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
17	16	rexbidva 3196	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ ℝ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) < 𝐴 ↔ ∃𝑖 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
18		oveq1 6799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖[,)+∞) = (𝑘[,)+∞))
19	18	imaeq2d 5607	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
20	19	ineq1d 3962	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
21	20	supeq1d 8507	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
22	21	breq1d 4794	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
23	22	cbvrexv 3320	. . 3 ⊢ (∃𝑖 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴)
24	23	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
25	6, 17, 24	3bitrd 294	1 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3061  Vcvv 3349   ∩ cin 3720   ⊆ wss 3721   class class class wbr 4784   ↦ cmpt 4861   “ cima 5252  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  supcsup 8501  ℝcr 10136  +∞cpnf 10272  ℝ^*cxr 10274   < clt 10275  [,)cico 12381  lim supclsp 14408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-limsup 14409

This theorem is referenced by: (None)