Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupgt 40532
 Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's appxoximated from below by the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupgt.k 𝑘𝐹
limsupgt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupgt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupgt.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
limsupgt.r (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
limsupgt.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
limsupgt (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem limsupgt
Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupgt.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 limsupgt.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 limsupgt.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
4 limsupgt.r . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
5 limsupgt.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
61, 2, 3, 4, 5limsupgtlem 40531 . 2 (𝜑 → ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
7 limsupgt.k . . . . . . . . 9 𝑘𝐹
8 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑘𝑙
97, 8nffv 6361 . . . . . . . 8 𝑘(𝐹𝑙)
10 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑘
11 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑘𝑋
129, 10, 11nfov 6841 . . . . . . 7 𝑘((𝐹𝑙) − 𝑋)
13 nfcv 2903 . . . . . . 7 𝑘 <
14 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑘lim sup
1514, 7nffv 6361 . . . . . . 7 𝑘(lim sup‘𝐹)
1612, 13, 15nfbr 4852 . . . . . 6 𝑘((𝐹𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)
17 nfv 1993 . . . . . 6 𝑙((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)
18 fveq2 6354 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑘 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑘))
1918oveq1d 6830 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹𝑙) − 𝑋) = ((𝐹𝑘) − 𝑋))
2019breq1d 4815 . . . . . 6 (𝑙 = 𝑘 → (((𝐹𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
2116, 17, 20cbvral 3307 . . . . 5 (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
2221a1i 11 . . . 4 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
23 fveq2 6354 . . . . 5 (𝑖 = 𝑗 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑗))
2423raleqdv 3284 . . . 4 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
2522, 24bitrd 268 . . 3 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
2625cbvrexv 3312 . 2 (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
276, 26sylib 208 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  Ⅎwnfc 2890  ∀wral 3051  ∃wrex 3052   class class class wbr 4805  ⟶wf 6046  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  ℝcr 10148   < clt 10287   − cmin 10479  ℤcz 11590  ℤ≥cuz 11900  ℝ+crp 12046  lim supclsp 14421 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-inf 8517  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-xadd 12161  df-ico 12395  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-ceil 12809  df-limsup 14422 This theorem is referenced by:  liminfltlem  40558  liminflimsupclim  40561
 Copyright terms: Public domain W3C validator