Theorem limsupgt 40532

Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's appxoximated from below by the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupgt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
limsupgt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupgt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupgt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
limsupgt.r	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
limsupgt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
limsupgt	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem limsupgt

Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupgt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		limsupgt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		limsupgt.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4		limsupgt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
5		limsupgt.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
6	1, 2, 3, 4, 5	limsupgtlem 40531	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
7		limsupgt.k	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
8		nfcv 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑙
9	7, 8	nffv 6361	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙)
10		nfcv 2903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 −
11		nfcv 2903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
12	9, 10, 11	nfov 6841	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) − 𝑋)
13		nfcv 2903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 <
14		nfcv 2903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘lim sup
15	14, 7	nffv 6361	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(lim sup‘𝐹)
16	12, 13, 15	nfbr 4852	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)
17		nfv 1993	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)
18		fveq2 6354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑘))
19	18	oveq1d 6830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑙) − 𝑋) = ((𝐹‘𝑘) − 𝑋))
20	19	breq1d 4815	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
21	16, 17, 20	cbvral 3307	. . . . 5 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
23		fveq2 6354	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
24	23	raleqdv 3284	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
25	22, 24	bitrd 268	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
26	25	cbvrexv 3312	. 2 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
27	6, 26	sylib 208	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  Ⅎwnfc 2890  ∀wral 3051  ∃wrex 3052   class class class wbr 4805  ⟶wf 6046  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  ℝcr 10148   < clt 10287   − cmin 10479  ℤcz 11590  ℤ_≥cuz 11900  ℝ⁺crp 12046  lim supclsp 14421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-inf 8517  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-xadd 12161  df-ico 12395  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-ceil 12809  df-limsup 14422

This theorem is referenced by:  liminfltlem  40558  liminflimsupclim  40561