Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupequz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupequz 40273
 Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupequz.1 𝑘𝜑
limsupequz.2 𝑘𝐹
limsupequz.3 𝑘𝐺
limsupequz.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupequz.5 (𝜑𝐹 Fn (ℤ𝑀))
limsupequz.6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
limsupequz.7 (𝜑𝐺 Fn (ℤ𝑁))
limsupequz.8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
limsupequz.9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
limsupequz (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))
Distinct variable group:   𝑘,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem limsupequz
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1883 . 2 𝑗𝜑
2 limsupequz.4 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 limsupequz.5 . 2 (𝜑𝐹 Fn (ℤ𝑀))
4 limsupequz.6 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
5 limsupequz.7 . 2 (𝜑𝐺 Fn (ℤ𝑁))
6 limsupequz.8 . 2 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
7 limsupequz.1 . . . . 5 𝑘𝜑
8 nfv 1883 . . . . 5 𝑘 𝑗 ∈ (ℤ𝐾)
97, 8nfan 1868 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾))
10 limsupequz.2 . . . . . 6 𝑘𝐹
11 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑘𝑗
1210, 11nffv 6236 . . . . 5 𝑘(𝐹𝑗)
13 limsupequz.3 . . . . . 6 𝑘𝐺
1413, 11nffv 6236 . . . . 5 𝑘(𝐺𝑗)
1512, 14nfeq 2805 . . . 4 𝑘(𝐹𝑗) = (𝐺𝑗)
169, 15nfim 1865 . . 3 𝑘((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗))
17 eleq1 2718 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (ℤ𝐾) ↔ 𝑗 ∈ (ℤ𝐾)))
1817anbi2d 740 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) ↔ (𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾))))
19 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
20 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑗))
2119, 20eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) = (𝐺𝑘) ↔ (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗)))
2218, 21imbi12d 333 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)) ↔ ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗))))
23 limsupequz.9 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2416, 22, 23chvar 2298 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗))
251, 2, 3, 4, 5, 6, 24limsupequzlem 40272 1 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523  Ⅎwnf 1748   ∈ wcel 2030  Ⅎwnfc 2780   Fn wfn 5921  ‘cfv 5926  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  lim supclsp 14245 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-ico 12219  df-limsup 14246 This theorem is referenced by:  limsupequzmptlem  40278  smflimsuplem2  41348
 Copyright terms: Public domain W3C validator