Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsup10ex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsup10ex 40517
 Description: The superior limit of a function that alternates between two values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
limsup10ex.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
Assertion
Ref Expression
limsup10ex (lim sup‘𝐹) = 1

Proof of Theorem limsup10ex
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nftru 1877 . . . 4 𝑘
2 nnex 11227 . . . . 5 ℕ ∈ V
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℕ ∈ V)
4 limsup10ex.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
5 0xr 10287 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ*)
7 1re 10240 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
87rexri 10298 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ*)
106, 9ifcld 4268 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ ℝ*)
114, 10fmpti 6525 . . . . 5 𝐹:ℕ⟶ℝ*
1211a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ*)
13 eqid 2770 . . . 4 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
141, 3, 12, 13limsupval3 40436 . . 3 (⊤ → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
1514trud 1640 . 2 (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
16 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ)
174, 16limsup10exlem 40516 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℝ → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = {0, 1})
1817supeq1d 8507 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = sup({0, 1}, ℝ*, < ))
19 xrltso 12178 . . . . . . . . . 10 < Or ℝ*
20 suppr 8532 . . . . . . . . . 10 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → sup({0, 1}, ℝ*, < ) = if(1 < 0, 0, 1))
2119, 5, 8, 20mp3an 1571 . . . . . . . . 9 sup({0, 1}, ℝ*, < ) = if(1 < 0, 0, 1)
22 0le1 10752 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
23 0re 10241 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
24 lenlt 10317 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0))
2523, 7, 24mp2an 664 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
2622, 25mpbi 220 . . . . . . . . . 10 ¬ 1 < 0
2726iffalsei 4233 . . . . . . . . 9 if(1 < 0, 0, 1) = 1
2821, 27eqtri 2792 . . . . . . . 8 sup({0, 1}, ℝ*, < ) = 1
2928a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ → sup({0, 1}, ℝ*, < ) = 1)
3018, 29eqtrd 2804 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = 1)
3130mpteq2ia 4872 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
3231rneqi 5490 . . . 4 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
33 eqid 2770 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
347elexi 3362 . . . . . . 7 1 ∈ V
3534a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 1 ∈ V)
36 ren0 40136 . . . . . . 7 ℝ ≠ ∅
3736a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ℝ ≠ ∅)
3833, 35, 37rnmptc 39867 . . . . 5 (⊤ → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = {1})
3938trud 1640 . . . 4 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = {1}
4032, 39eqtri 2792 . . 3 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = {1}
4140infeq1i 8539 . 2 inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf({1}, ℝ*, < )
42 infsn 8565 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → inf({1}, ℝ*, < ) = 1)
4319, 8, 42mp2an 664 . 2 inf({1}, ℝ*, < ) = 1
4415, 41, 433eqtri 2796 1 (lim sup‘𝐹) = 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630  ⊤wtru 1631   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942  Vcvv 3349  ∅c0 4061  ifcif 4223  {csn 4314  {cpr 4316   class class class wbr 4784   ↦ cmpt 4861   Or wor 5169  ran crn 5250   “ cima 5252  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  supcsup 8501  infcinf 8502  ℝcr 10136  0cc0 10137  1c1 10138  +∞cpnf 10272  ℝ*cxr 10274   < clt 10275   ≤ cle 10276  ℕcn 11221  2c2 11271  [,)cico 12381  lim supclsp 14408   ∥ cdvds 15188 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-ico 12385  df-fl 12800  df-ceil 12801  df-limsup 14409  df-dvds 15189 This theorem is referenced by:  liminfltlimsupex  40525
 Copyright terms: Public domain W3C validator