Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfvalxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfvalxr 40516
 Description: Alternate definition of lim inf when 𝐹 is an extended real valued function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfvalxr.1 𝑥𝐹
liminfvalxr.2 (𝜑𝐴𝑉)
liminfvalxr.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
liminfvalxr (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem liminfvalxr
Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nftru 1877 . . . . . . 7 𝑘
2 inss2 3975 . . . . . . . . 9 ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
3 infxrcl 12354 . . . . . . . . 9 (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . 8 inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
61, 5supminfxrrnmpt 40197 . . . . . 6 (⊤ → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
76trud 1640 . . . . 5 sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
87a1i 11 . . . 4 (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
9 tru 1634 . . . . . . . . . . 11
10 inss2 3975 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
1211supminfxr2 40195 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ))
139, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < )
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ))
15 elinel1 3940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
16 nfmpt1 4897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))
17 xnegex 12230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -𝑒(𝐹𝑦) ∈ V
18 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) = (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))
1917, 18fnmpti 6181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) Fn 𝐴
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) Fn 𝐴)
2120adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) Fn 𝐴)
22 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
2316, 21, 22fvelimad 39955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
24233adant2 1126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
2515, 24syl3an3 1170 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
26 elinel2 3941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
27 elinel1 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦𝐴)
2817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → -𝑒(𝐹𝑦) ∈ V)
2918fvmpt2 6451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦𝐴 ∧ -𝑒(𝐹𝑦) ∈ V) → ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒(𝐹𝑦))
3027, 28, 29syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒(𝐹𝑦))
3130eqcomd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → -𝑒(𝐹𝑦) = ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦))
3231adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹𝑦) = ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦))
33 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
3432, 33eqtrd 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧)
3534adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧)
36 eqcom 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧 ↔ -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
3736biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (-𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧 → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
3837adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
39 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
40 liminfvalxr.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
4140adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
4227adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦𝐴)
4341, 42ffvelrnd 6521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
4443adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
45 xneg11 12237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹𝑦)))
4639, 44, 45syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹𝑦)))
4746adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹𝑦)))
4838, 47mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 = (𝐹𝑦))
4940ffund 6208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → Fun 𝐹)
5049, 27anim12i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (Fun 𝐹𝑦𝐴))
5150simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → Fun 𝐹)
5240fdmd 39917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
5352eqcomd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐴 = dom 𝐹)
5453adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝐴 = dom 𝐹)
5542, 54eleqtrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
5651, 55jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹))
57 elinel2 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
5857adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
59 funfvima 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
6056, 58, 59sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
6160ad4ant13 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
6248, 61eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
6335, 62syldan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
6463rexlimdva2 39836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
65643adant3 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
6626, 65syl3an3 1170 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
6725, 66mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
6867rabssdv 3821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
69 ssrab2 3826 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ℝ*
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ℝ*)
7168, 70ssind 3978 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
722a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
7340ffnd 6205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
7473adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝐹 Fn 𝐴)
75 elinel1 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
7675adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
77 fvelima2 39972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 Fn 𝐴𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑦) = 𝑧)
7874, 76, 77syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑦) = 𝑧)
79 elinel2 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
80 eqcom 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝑦) = 𝑧𝑧 = (𝐹𝑦))
8180biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑦) = 𝑧𝑧 = (𝐹𝑦))
8281adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐹𝑦))
8382xnegeqd 40160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
84 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
8582, 84eqeltrrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
8684, 85, 45syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹𝑦)))
8783, 86mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐹𝑦))
8887xnegeqd 40160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
8988ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℝ* → ((𝐹𝑦) = 𝑧 → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦)))
9089reximdv 3152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℝ* → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦)))
9179, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦)))
9291adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦)))
9378, 92mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
94 xnegex 12230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -𝑒𝑧 ∈ V
95 elmptima 39970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑒𝑧 ∈ V → (-𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦)))
9694, 95ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
9793, 96sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
9872sselda 3742 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
9998xnegcld 12321 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
10097, 99elind 3939 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
10172, 100ssrabdv 3820 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)})
10271, 101eqssd 3759 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
103102infeq1d 8546 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
104103xnegeqd 40160 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ) = -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
10514, 104eqtr2d 2793 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
106105mpteq2dv 4895 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
107106rneqd 5506 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
108107infeq1d 8546 . . . . 5 (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
109108xnegeqd 40160 . . . 4 (𝜑 → -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
1108, 109eqtrd 2792 . . 3 (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
111 liminfvalxr.2 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
11240, 111fexd 39793 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ V)
113 eqid 2758 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
114113liminfval 40492 . . . 4 (𝐹 ∈ V → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
115112, 114syl 17 . . 3 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
116111mptexd 6649 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) ∈ V)
117 eqid 2758 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
118117limsupval 14402 . . . . 5 ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) ∈ V → (lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
119116, 118syl 17 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
120119xnegeqd 40160 . . 3 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
121110, 115, 1203eqtr4d 2802 . 2 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))))
122 liminfvalxr.1 . . . . . . . 8 𝑥𝐹
123 nfcv 2900 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
124122, 123nffv 6357 . . . . . . 7 𝑥(𝐹𝑦)
125124nfxneg 40187 . . . . . 6 𝑥-𝑒(𝐹𝑦)
126 nfcv 2900 . . . . . 6 𝑦-𝑒(𝐹𝑥)
127 fveq2 6350 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
128127xnegeqd 40160 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒(𝐹𝑥))
129125, 126, 128cbvmpt 4899 . . . . 5 (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) = (𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥))
130129fveq2i 6353 . . . 4 (lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = (lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥)))
131130xnegeqi 40163 . . 3 -𝑒(lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥)))
132131a1i 11 . 2 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥))))
133121, 132eqtrd 2792 1 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1630  ⊤wtru 1631   ∈ wcel 2137  Ⅎwnfc 2887  ∃wrex 3049  {crab 3052  Vcvv 3338   ∩ cin 3712   ⊆ wss 3713   ↦ cmpt 4879  dom cdm 5264  ran crn 5265   “ cima 5267  Fun wfun 6041   Fn wfn 6042  ⟶wf 6043  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811  supcsup 8509  infcinf 8510  ℝcr 10125  +∞cpnf 10261  ℝ*cxr 10263   < clt 10264  -𝑒cxne 12134  [,)cico 12368  lim supclsp 14398  lim infclsi 40484 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-id 5172  df-po 5185  df-so 5186  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-sup 8511  df-inf 8512  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-xneg 12137  df-limsup 14399  df-liminf 40485 This theorem is referenced by:  liminfvalxrmpt  40519
 Copyright terms: Public domain W3C validator