Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfresxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfresxr 40517
Description: The inferior limit of a function only depends on the preimage of the extended real part. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfresxr.1 (𝜑𝐹𝑉)
liminfresxr.2 (𝜑 → Fun 𝐹)
liminfresxr.3 𝐴 = (𝐹 “ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
liminfresxr (𝜑 → (lim inf‘(𝐹𝐴)) = (lim inf‘𝐹))

Proof of Theorem liminfresxr
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resimass 39967 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))
21a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
32ssrind 3988 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
4 liminfresxr.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Fun 𝐹)
54funfnd 6062 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 Fn dom 𝐹)
6 elinel1 3950 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
7 fvelima2 39993 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑥) = 𝑦)
85, 6, 7syl2an 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑥) = 𝑦)
9 elinel1 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
1093ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
11 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝐹𝑥) = 𝑦)
12 elinel2 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1312adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1411, 13eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
15143adant2 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1610, 15jca 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*))
17163adant1l 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*))
18 simp1l 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝜑)
19 elpreima 6480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 Fn dom 𝐹 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)))
205, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)))
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)))
2217, 21mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ ℝ*))
23 liminfresxr.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴 = (𝐹 “ ℝ*)
2422, 23syl6eleqr 2861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥𝐴)
25243expa 1111 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥𝐴)
2625fvresd 6349 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
27 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝐹𝑥) = 𝑦)
2826, 27eqtr2d 2806 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑦 = ((𝐹𝐴)‘𝑥))
29 simplll 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝜑)
304funresd 39994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Fun (𝐹𝐴))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → Fun (𝐹𝐴))
329ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
3325, 32elind 3949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ dom 𝐹))
34 dmres 5560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
3533, 34syl6eleqr 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴))
3631, 35jca 501 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴)))
37 elinel2 3951 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞))
3837ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞))
39 funfvima 6635 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞))))
4036, 38, 39sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
4128, 40eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
4241rexlimdva2 39859 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑥) = 𝑦𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞))))
438, 42mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
4443ralrimiva 3115 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
45 dfss3 3741 . . . . . . . . 9 (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
4644, 45sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
47 inss2 3982 . . . . . . . . 9 ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
4847a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
4946, 48ssind 3985 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ (((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
503, 49eqssd 3769 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
5150infeq1d 8539 . . . . 5 (𝜑 → inf((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5251mpteq2dv 4879 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
5352rneqd 5491 . . 3 (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
5453supeq1d 8508 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
55 liminfresxr.1 . . . 4 (𝜑𝐹𝑉)
5655resexd 39842 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ V)
57 eqid 2771 . . . 4 (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5857liminfval 40509 . . 3 ((𝐹𝐴) ∈ V → (lim inf‘(𝐹𝐴)) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
5956, 58syl 17 . 2 (𝜑 → (lim inf‘(𝐹𝐴)) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
60 eqid 2771 . . . 4 (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6160liminfval 40509 . . 3 (𝐹𝑉 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
6255, 61syl 17 . 2 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
6354, 59, 623eqtr4d 2815 1 (𝜑 → (lim inf‘(𝐹𝐴)) = (lim inf‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351  cin 3722  wss 3723  cmpt 4863  ccnv 5248  dom cdm 5249  ran crn 5250  cres 5251  cima 5252  Fun wfun 6025   Fn wfn 6026  cfv 6031  (class class class)co 6793  supcsup 8502  infcinf 8503  cr 10137  +∞cpnf 10273  *cxr 10275   < clt 10276  [,)cico 12382  lim infclsi 40501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-liminf 40502
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator