Theorem liminflelimsupuz 40535

Description: The superior limit is greater than or equal to the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflelimsupuz.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminflelimsupuz.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminflelimsupuz.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminflelimsupuz	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem liminflelimsupuz

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminflelimsupuz.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
2		liminflelimsupuz.2	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	fvexi 6343	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
5	1, 4	fexd 39817	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
6		liminflelimsupuz.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6, 2	uzubico2 40315	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)𝑗 ∈ 𝑍)
8	1	ffnd 6186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
9	8	adantr 466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹 Fn 𝑍)
10		simpr 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
11		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ 𝑍)
12	2, 11	uzxrd 40208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℝ*)
13		pnfxr 10294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → +∞ ∈ ℝ*)
15	12	xrleidd 40126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ≤ 𝑗)
16	2, 11	uzred 40186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℝ)
17		ltpnf 12159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 < +∞)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 < +∞)
19	12, 14, 12, 15, 18	elicod 12429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (𝑗[,)+∞))
20	19	adantl 467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (𝑗[,)+∞))
21	9, 10, 20	fnfvima2 39996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)))
22	1	ffvelrnda 6502	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
23	21, 22	elind 3949	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*))
24		ne0i 4069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
26	25	ex 397	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
27	26	ad2antrr 705	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)) → (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
28	27	reximdva 3165	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)𝑗 ∈ 𝑍 → ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
29	28	ralimdva 3111	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)𝑗 ∈ 𝑍 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
30	7, 29	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
31	5, 30	liminflelimsup 40526	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  Vcvv 3351   ∩ cin 3722  ∅c0 4063   class class class wbr 4786   “ cima 5252   Fn wfn 6026  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℝcr 10137  +∞cpnf 10273  ℝ^*cxr 10275   < clt 10276   ≤ cle 10277  ℤcz 11579  ℤ_≥cuz 11888  [,)cico 12382  lim supclsp 14409  lim infclsi 40501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-fl 12801  df-ceil 12802  df-limsup 14410  df-liminf 40502

This theorem is referenced by:  liminfgelimsupuz  40538  liminflimsupclim  40557