Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminflelimsuplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminflelimsuplem 40427
Description: The superior limit is greater than or equal to the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminflelimsuplem.1 (𝜑𝐹𝑉)
liminflelimsuplem.2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
liminflelimsuplem (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑉(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem liminflelimsuplem
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → 𝑙 ∈ ℝ)
2 simpl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → 𝑖 ∈ ℝ)
31, 2ifcld 4239 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ)
43adantll 752 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ)
5 liminflelimsuplem.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
65ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
7 oveq1 6772 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖) → (𝑘[,)+∞) = (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞))
87rexeqdv 3248 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖) → (∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
98rspcva 3411 . . . . . . . . . 10 ((if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
104, 6, 9syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
11 inss2 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
12 infxrcl 12277 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
15 inss2 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
16 infxrcl 12277 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
19 inss2 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
20 supxrcl 12259 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
23 rexr 10198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℝ → 𝑖 ∈ ℝ*)
2423ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑖 ∈ ℝ*)
25 pnfxr 10205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +∞ ∈ ℝ*
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
273rexrd 10202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ*)
2827adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ*)
29 icossxr 12372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞) ⊆ ℝ*
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞) → 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞))
3129, 30sseldi 3707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞) → 𝑗 ∈ ℝ*)
3231adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑗 ∈ ℝ*)
33 max1 12130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → 𝑖 ≤ if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖))
3433adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑖 ≤ if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖))
35 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞))
3628, 26, 35icogelbd 40205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖) ≤ 𝑗)
3724, 28, 32, 34, 36xrletrd 12107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑖𝑗)
3824, 26, 37icossico2 40211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → (𝑗[,)+∞) ⊆ (𝑖[,)+∞))
3938imass2d 39896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑖[,)+∞)))
4039ssrind 39749 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*))
4111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
42 infxrss 12283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4340, 41, 42syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4443adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
45 supxrcl 12259 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4615, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4815a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
49 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
5048, 49infxrlesupxr 40078 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
51 rexr 10198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 ∈ ℝ → 𝑙 ∈ ℝ*)
5251ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑙 ∈ ℝ*)
53 max2 12132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → 𝑙 ≤ if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖))
5453adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑙 ≤ if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖))
5552, 28, 32, 54, 36xrletrd 12107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑙𝑗)
5652, 26, 55icossico2 40211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → (𝑗[,)+∞) ⊆ (𝑙[,)+∞))
5756imass2d 39896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑙[,)+∞)))
5857ssrind 39749 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*))
5919a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
60 supxrss 12276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*) → sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6158, 59, 60syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6261adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6318, 47, 22, 50, 62xrletrd 12107 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6414, 18, 22, 44, 63xrletrd 12107 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6564ad5ant2345 1436 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6665rexlimdva2 39755 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
6710, 66mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6867ralrimiva 3068 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → ∀𝑙 ∈ ℝ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
69 nfv 1956 . . . . . . . . 9 𝑙𝜑
70 xrltso 12088 . . . . . . . . . . 11 < Or ℝ*
7170supex 8485 . . . . . . . . . 10 sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
7271a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑙 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V)
73 breq2 4764 . . . . . . . . 9 (𝑦 = sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) → (inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦 ↔ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
7469, 72, 73ralrnmpt3 39890 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑙 ∈ ℝ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
7574adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑙 ∈ ℝ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
7668, 75mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
77 oveq1 6772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 𝑖 → (𝑙[,)+∞) = (𝑖[,)+∞))
7877imaeq2d 5576 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑖 → (𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑖[,)+∞)))
7978ineq1d 3921 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑖 → ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*))
8079supeq1d 8468 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑖 → sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
8180cbvmptv 4858 . . . . . . . . 9 (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
8281rneqi 5459 . . . . . . . 8 ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
8382raleqi 3245 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
8483a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦))
8576, 84mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
86 supxrcl 12259 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8711, 86ax-mp 5 . . . . . . . . 9 sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
8887rgenw 3026 . . . . . . . 8 𝑖 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
89 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
9089rnmptss 6507 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ* → ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ*)
9188, 90ax-mp 5 . . . . . . 7 ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ*
9291a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ*)
9313a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
94 infxrgelb 12279 . . . . . 6 ((ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ* ∧ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦))
9592, 93, 94syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → (inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦))
9685, 95mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
9796ralrimiva 3068 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℝ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
98 nfv 1956 . . . 4 𝑖𝜑
99 nfcv 2866 . . . 4 𝑖
100 nfmpt1 4855 . . . . . 6 𝑖(𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
101100nfrn 5475 . . . . 5 𝑖ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
102 nfcv 2866 . . . . 5 𝑖*
103 nfcv 2866 . . . . 5 𝑖 <
104101, 102, 103nfinf 8504 . . . 4 𝑖inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
105 infxrcl 12277 . . . . . 6 (ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ* → inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10691, 105ax-mp 5 . . . . 5 inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
107106a1i 11 . . . 4 (𝜑 → inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10898, 99, 104, 93, 107supxrleubrnmptf 40095 . . 3 (𝜑 → (sup(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )))
10997, 108mpbird 247 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
110 liminflelimsuplem.1 . . . 4 (𝜑𝐹𝑉)
111 eqid 2724 . . . 4 (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
112110, 111liminfvald 40416 . . 3 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
113110, 89limsupvald 40407 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
114112, 113breq12d 4773 . 2 (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ sup(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )))
115109, 114mpbird 247 1 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  wral 3014  wrex 3015  Vcvv 3304  cin 3679  wss 3680  c0 4023  ifcif 4194   class class class wbr 4760  cmpt 4837  ran crn 5219  cima 5221  cfv 6001  (class class class)co 6765  supcsup 8462  infcinf 8463  cr 10048  +∞cpnf 10184  *cxr 10186   < clt 10187  cle 10188  [,)cico 12291  lim supclsp 14321  lim infclsi 40403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-ico 12295  df-limsup 14322  df-liminf 40404
This theorem is referenced by:  liminflelimsup  40428
  Copyright terms: Public domain W3C validator