Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminf10ex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminf10ex 40527
Description: The inferior limit of a function that alternates between two values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
liminf10ex.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
Assertion
Ref Expression
liminf10ex (lim inf‘𝐹) = 0

Proof of Theorem liminf10ex
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nftru 1879 . . . 4 𝑘
2 nnex 11238 . . . . 5 ℕ ∈ V
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℕ ∈ V)
4 liminf10ex.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
5 0xr 10298 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ*)
7 1re 10251 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
87rexri 10309 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ*)
106, 9ifcld 4275 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ ℝ*)
114, 10fmpti 6547 . . . . 5 𝐹:ℕ⟶ℝ*
1211a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ*)
13 eqid 2760 . . . 4 (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
141, 3, 12, 13liminfval5 40518 . . 3 (⊤ → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
1514trud 1642 . 2 (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
16 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ)
174, 16limsup10exlem 40525 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℝ → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = {0, 1})
1817infeq1d 8550 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ → inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = inf({0, 1}, ℝ*, < ))
19 xrltso 12187 . . . . . . . . . 10 < Or ℝ*
20 infpr 8576 . . . . . . . . . 10 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → inf({0, 1}, ℝ*, < ) = if(0 < 1, 0, 1))
2119, 5, 8, 20mp3an 1573 . . . . . . . . 9 inf({0, 1}, ℝ*, < ) = if(0 < 1, 0, 1)
22 0lt1 10762 . . . . . . . . . 10 0 < 1
2322iftruei 4237 . . . . . . . . 9 if(0 < 1, 0, 1) = 0
2421, 23eqtri 2782 . . . . . . . 8 inf({0, 1}, ℝ*, < ) = 0
2524a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ → inf({0, 1}, ℝ*, < ) = 0)
2618, 25eqtrd 2794 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ → inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = 0)
2726mpteq2ia 4892 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
2827rneqi 5507 . . . 4 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
29 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
30 0re 10252 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
3130a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
32 ren0 40142 . . . . . . 7 ℝ ≠ ∅
3332a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ℝ ≠ ∅)
3429, 31, 33rnmptc 39870 . . . . 5 (⊤ → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = {0})
3534trud 1642 . . . 4 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = {0}
3628, 35eqtri 2782 . . 3 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = {0}
3736supeq1i 8520 . 2 sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
38 supsn 8545 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
3919, 5, 38mp2an 710 . 2 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
4015, 37, 393eqtri 2786 1 (lim inf‘𝐹) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1632  wtru 1633  wcel 2139  wne 2932  Vcvv 3340  c0 4058  ifcif 4230  {csn 4321  {cpr 4323   class class class wbr 4804  cmpt 4881   Or wor 5186  ran crn 5267  cima 5269  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  supcsup 8513  infcinf 8514  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149  +∞cpnf 10283  *cxr 10285   < clt 10286  cn 11232  2c2 11282  [,)cico 12390  cdvds 15202  lim infclsi 40504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-ico 12394  df-fl 12807  df-ceil 12808  df-dvds 15203  df-liminf 40505
This theorem is referenced by:  liminfltlimsupex  40534
  Copyright terms: Public domain W3C validator