MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limensuci Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limensuci 8177
Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
limensuci.1 Lim 𝐴
Assertion
Ref Expression
limensuci (𝐴𝑉𝐴 ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem limensuci
StepHypRef Expression
1 limensuci.1 . . . . 5 Lim 𝐴
21limenpsi 8176 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
32ensymd 8048 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴)
4 0ex 4823 . . . 4 ∅ ∈ V
5 en2sn 8078 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → {∅} ≈ {𝐴})
64, 5mpan 706 . . 3 (𝐴𝑉 → {∅} ≈ {𝐴})
7 incom 3838 . . . . 5 ((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ({∅} ∩ (𝐴 ∖ {∅}))
8 disjdif 4073 . . . . 5 ({∅} ∩ (𝐴 ∖ {∅})) = ∅
97, 8eqtri 2673 . . . 4 ((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅
10 limord 5822 . . . . . . 7 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
111, 10ax-mp 5 . . . . . 6 Ord 𝐴
12 ordirr 5779 . . . . . 6 (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 ¬ 𝐴𝐴
14 disjsn 4278 . . . . 5 ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴𝐴)
1513, 14mpbir 221 . . . 4 (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅
16 unen 8081 . . . 4 ((((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) ∧ (((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
179, 15, 16mpanr12 721 . . 3 (((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
183, 6, 17syl2anc 694 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
19 0ellim 5825 . . . . . 6 (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)
201, 19ax-mp 5 . . . . 5 ∅ ∈ 𝐴
214snss 4348 . . . . 5 (∅ ∈ 𝐴 ↔ {∅} ⊆ 𝐴)
2220, 21mpbi 220 . . . 4 {∅} ⊆ 𝐴
23 undif 4082 . . . 4 ({∅} ⊆ 𝐴 ↔ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴)
2422, 23mpbi 220 . . 3 ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴
25 uncom 3790 . . 3 ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
2624, 25eqtr3i 2675 . 2 𝐴 = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
27 df-suc 5767 . 2 suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
2818, 26, 273brtr4g 4719 1 (𝐴𝑉𝐴 ≈ suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  Ord word 5760  Lim wlim 5762  suc csuc 5763  cen 7994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999
This theorem is referenced by:  limensuc  8178  infensuc  8179  omensuc  8591
  Copyright terms: Public domain W3C validator